(495) 240-82-80ПН-СБ с 10:00 до 18:00
We speak English

1.3. Степень с натуральным показателем

1. В учебнике (с. 72) показано, как степень с натуральным показателем можно вычислить на калькуляторе. Приведен пример последовательности действий на абстрактном простейшем калькуляторе. Рассмотрим, какие возможности для вычисления степени имеются на инженерном калькуляторе.

Пример 1

Найдем с помощью калькулятора значение выражения 2,75.

Простейшие расчеты на инженерном калькуляторе осуществляются, как правило, в режиме вычислений. Напомним, что для входа в данный режим надо включить калькулятор (клавиша [AC/ON]), перейти в главное меню (клавиша [MENU]), с помощью клавиши [REPLAY] выбрать клетку таблицы, помеченную RUN-MAT, и нажать [ЕХЕ]. Калькулятор перейдет в режим вычислений.

На экране могут появиться записи предыдущих вычислений, произведенных ранее в этом режиме. Рекомендуется очистить память и экран калькулятора. Напомним, что для этого в режиме вычислений надо нажать [F2] (текущее значение DEL). Значения функциональных клавиш изменятся, останутся только у двух первых клавиш:

Снова нажать [F2] (текущее значение DEL-А) и, на просьбу калькулятора подтвердить удаление, нажать [F1] ("да"). (Отказ от удаления - [F6] - "нет"). Экран очистится, а меню функциональных клавиш вернется к начальному в данном режиме.

Исходная запись выражения в виде произведения 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 завершается нажатием клавиши [ЕХЕ] ("выполнить"):

Инженерный калькулятор позволяет записать степень в стандартной математической форме: 2,75. Для этого надо набрать число 2,7 и нажать клавишу [^]. Курсор переместится в верхний регистр. После этого нужно набрать значение степени, т. е. 5. Выражение будет записано. Теперь, нажав [ЕХЕ], можно дать команду калькулятору его вычислить:

Предложим учащимся переместить курсор на строку с выражением 2,75, внести в него исправления и вычислить значения новых выражений: например, возвести число не в пятую, а в седьмую степень. Напомним, что перемещение курсора осуществляется по набранным ранее строкам с помощью клавиши [REPLAY] вверх (или вниз, если вдруг такое потребуется). Доведя курсор до нужной строки (она при этом будет выделена цветом), надо передвинуть его с помощью клавиши [REPLAY] вправо или влево так, чтобы он оказался в верхнем регистре cправа от числа 5 (показателя степени):

Курсор при этом будет иметь вид "моргающей черточки". Нажатие клавиши [DEL] приведет к удалению символа слева от курсора, число 5 будет удалено, но курсор останется в верхнем регистре. Теперь надо ввести 7 (новый показатель степени), а затем - нажать [ЕХЕ]. Запись на экране изменится:

Отметим, что при возведении числа (или выражения) в квадрат можно не переводить курсор в верхний регистр клавишей [^], а просто нажать клавишу [x2]. То есть последовательность действий при записи 2,72 будет такой:

  • набрать число 2,7;
  • нажать клавишу [x2].

Пример 2

Запишем на калькуляторе выражение х2х3 и вычислим его значение при х = 3,4, х = 5,2, х = 7,3.

При вводе этого выражения на инженерном калькуляторе рекомендуется начать с команды присваивания переменной x ее первого значения. Тогда после записи выражения сразу же можно будет вычислить его значение. Напомним, что для записи команды присваивания надо набрать:3.4→X. Для набора имени переменной x удобнее использовать клавишу [X,θ,T]. Возможно также и последовательное нажатие клавиш [ALPHA] и [+] (красным над ней помечено значение "X"). Результат будет тот же самый. Если в качестве имени переменной использовать любую другую букву, кроме х, то именно такая последовательность действий и понадобится ([ALPHA] и клавиша, над которой красным шрифтом написана данная буква).

Затем надо нажать [ЕХЕ] для выполнения команды. После этого можно вводить выражение по тем же правилам, как это было описано выше:

Отметим, что после ввода значения показателя степени курсор может остаться в верхнем регистре. Чтобы вернуть его в основную строку, надо нажать вправо клавишу [REPLAY].

Затем с помощью клавиши [REPLAY] надо перевести курсор к первому выражению и заменить число 3,4 на 5,2. Нажатие клавиши [ЕХЕ] приведет к выполнению команды, в которой находится курсор, а также всех последующих. В данном случае будет вычислено значение степенного выражения для нового значения х. Для значения 7,3 операцию надо повторить:

Обратим внимание на то, что запись и вычисление значений любых других степенных выражений, в том числе и рассматриваемых далее одночленов, осуществляется аналогично. Упражнения № 469-470 из учебника выполняются с калькулятором.

Пример № 469

Найдите с помощью калькулятора значение одночлена 2,1m2n, если:

а) m = 3,2, n = 1,8; б) m = 0,61, n = 32.

Обратим внимание на то, что после замены 3,2 на 0,61 и нажатия [EXE] калькулятор вычисляет значение выражения для m = 0,61, n = 1,8. На этот результат не надо обращать внимания (задания вычислить его в учебнике не было), а курсор надо перевести на строку с командой присваивания значения переменной n, внести в ней исправления и снова нажать [EXE]. Упражнение будет выполнено.

Пример № 470

Найдите с помощью калькулятора значение одночлена 3х2у при х = 1,1, y = 1,9.

Упражнение можно выполнить двумя способами:

2. При выполнении действий с одночленами (№№ 491-493) калькулятор используется преимущественно для самопроверки учащимися правильности произведенных ими преобразований. Приведем пример.

Пример № 491a

Представим выражение 25a4(3a3)2 в виде одночлена стандартного вида. В результате преобразований должно получиться 225a10.

С помощью калькулятора учащийся может набрать оба выражения и вычислить их значения, например, при a = 2,1. Если значения не совпадут, то ясно, что он совершил ошибку в преобразованиях. При записи выражения обратим внимание на положение курсора. После нажатия клавиши [^] курсор переходит в верхний регистр. Чтобы вернуть его в обычное положение после окончания записи показателя степени, надо нажать клавишу [REPLAY] вправо:

3. Рекомендуем все построения, предлагаемые в учебнике для графиков функций y = х2 и y = х3 (с. 88-92), последовательно выполнить в тетради. Это поможет учащимся понять, как из свойств каждой из функций вытекают особенности ее графика.

Затем можно показать графики рассматриваемых функций на калькуляторе, обращая особое внимание на расположение точек графика вблизи начала координат, что позволит предостеречь учащихся от распространенной ошибки, когда график функции y = х2 изображается заостренным книзу, а график y = х3 - "сломанным".

Напомним, что для входа в режим построения графиков надо включить калькулятор (клавиша [AC/ON]), перейти в главное меню (клавиша [MENU]), с помощью клавиши [REPLAY] выбрать клетку таблицы, помеченную GRAPH, и нажать [ЕХЕ]. Калькулятор перейдет в графический режим.

На экране появится таблица исследуемых функций, в которую сразу же рекомендуется внести обе функции:

Обратим внимание на то, что в данном режиме для всех значений степеней больших двух возможна только линейная запись, как это приведено на рисунке.

Для начала следует рассмотреть функции по очереди. Напомним, что строятся графики только тех функций, знак равенства в записи которых выделен цветом. Внесение и снятие выделения осуществляется с помощью клавиши [F1] (текущее значение SEL):

1. Для исследования графика функции y = х2 необходимо задать окно вывода (режим V-Window, вход - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F3]). Выше уже отмечалось, что для этого можно непосредственно указать минимальные и максимальные значения для x и y (остальные параметры калькулятор задаст сам, автоматически). Ввод каждого нового значения параметров завершается нажатием клавиши [ЕХЕ]. Можно воспользоваться стандартным окном вывода, соответствующие значения параметров восстанавливаются нажатием клавиши [F1] (INIT):

При стандартном окне вывода масштаб по осям x и y одинаков, а шаг курсора равен 0,1. Поэтому для большинства задач рекомендуется начинать именно с этих значений параметров вывода графика, внося в них изменения по мере необходимости.

Выход из режима и возвращение в исходный - клавиша [EXIT]. Указание построить график - [F6] (DRAW) или [ЕХЕ].

На экране появится график. Так как он расположен в верхней части экрана, сдвинем немного окно вывода, нажав один раз клавишу [REPLAY] вверх:

График можно исследовать более детально, используя возможности калькулятора. Прежде всего, следует воспользоваться режимом Trace и посмотреть, как меняются значения x и y при перемещении курсора по графику. Напомним, что вход в режим Trace осуществляется последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [F1] (помечена сверху желтым шрифтом Trace).

Затем следует более подробно изучить график за счет изменения масштаба. Напомним, что это делается в режиме Zoom. Вход в режим Zoom осуществляется последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [F2] (она помечена сверху желтым шрифтом Zoom). В это время на экран должен быть выведен график. Меню функциональных клавиш изменится:

Список команд изменения масштаба довольно значителен, даже не уместился в одной строке. Но использовать большинство из них в рамках школьного курса не представляется целесообразным (а то и возможным). В основном, мы будем использовать три команды: BOX, IN и OUT - для исследования графиков, а также AUTO - для оценки окна вывода, когда из общих соображений это сделать затруднительно (подробнее об этой команде будет рассказано в следующем разделе).

В предыдущем параграфе мы использовали команду ВОХ (новое значение клавиши [F1]). Напомним, что при исполнении этой команды на экране появляется курсор в виде "крестика". С помощью клавиши [REPLAY] его надо перевести к одному из углов прямоугольной области плоскости координат, которую желательно рассмотреть подробнее, запомнить эту точку, нажав [ЕХЕ], а затем перевести курсор к противоположному углу выделяемой области. При этом за курсором "потянется" прямоугольник, один из углов которого был зафиксирован нажатием клавиши [ЕХЕ]. Отметив нужную область, надо снова нажать [ЕХЕ]. Выделенный прямоугольник и станет окном вывода с соответствующим изменением его параметров:

Команды IN (приблизить) и OUT (удалить) работают практически одинаково, только первая вдвое увеличивает масштаб, а вторая его уменьшает. Соотношение масштабов по x и y при этом сохраняется. Воспользуемся командой IN, чтобы более подробно рассмотреть область вблизи начала координат.

При нажатии клавиши [F3] (IN) на экране появляется курсор. Он отмечает центр будущего окна вывода, а для начала помещен в центр экрана. Если сдвинуть курсор на экране с помощью клавиши [REPLAY], то центр нового окна вывода не будет совпадать с центром текущего. В данном примере это делать особого смысла не имеет, разве что ради тренировки. Нажатие клавиши [EXE] приведет к двукратному увеличению масштаба, в новом окне появится центральная часть ранее построенного графика:

Увеличение масштаба сразу заметно по изменению расстояний между "черточками" на осях. Затем можно продолжить исследование графика в режиме Trace. Теперь при каждом нажатии клавиши [REPLAY] вправо или влево курсор будет сдвигаться на 0,05.

Для более подробного изучения графика вблизи начала координат команду можно будет повторить.

2. График функции y = х3 рекомендуется исследовать аналогичным образом. Сначала в таблице ввода функций надо изменить выделения знаков равенства так, чтобы теперь вместо y = х2 выводилась функция y = х3:

Для начала также рекомендуется сохранить стандартное окно вывода. Тогда первоначально график функции будет иметь вид:

График также рекомендуется исследовать визуально в режиме Trace и меняя область вывода. Наибольший интерес также представляет область вблизи начала координат. Изменим окно вывода в режиме Zoom (IN):

3. Использование калькуляторов открывает и дополнительные возможности по исследованию графиков. Полезно обратить внимание учащихся на взаимное расположение графиков функций y = х2 , y = х3 и y = x при 0 ≤ x ≤ 1 и при x > 1.

Дополним список функций y = x и выведем все три графика на экран одновременно, задав для начала стандартное окно вывода:

Видно, что графики всех трех функций пересекаются в точке (1; 1). Кроме того, графики функций y = х3 и y = x пересекаются в точке (-1; -1). Исследуем подробнее поведение графиков в районе этой области.

Из графиков видно, что при положительных x график функции y = х3 пойдет ниже графиков функций y = x и y = х2 , но верно это только при х < 1. В точке (1; 1) графики функций будут пересекаться, а затем график y = х3 пойдет выше. Это можно проверить в режиме Trace. Напомним, что в режиме Trace движение курсора по графику одной из функций осуществляется нажатием клавиши [REPLAY] вправо или влево, а переход с графика одной функции на другой - нажатием той же клавиши вверх или вниз.

После анализа графиков функций желательно обратить внимание учащихся на то, что те же выводы о функциях они могли получить и путем простейших вычислений, не строя графики. Но это легко сделать, когда функции задаются столь простыми выражениями. Кроме того, графики очень наглядны, они помогают определить, в каких областях функцию следует исследовать более внимательно. Далее предложим учащимся выполнить упражнения типа № 603.

4. Мы уже неоднократно наблюдали, что по графику функции, как правило, можно найти приближенные значения координат выделенной для просмотра точки (о возможности получить точное показание для значения функции по данному точному значению аргумента скажем позже). Поэтому в теме "Абсолютные и относительные погрешности" показания калькулятора могут быть естественно использованы в качестве иллюстративного материала.

Оценим точность, с которой получены некоторые значения функции y=x2 по графику на калькуляторе. Рассмотрим его, например, в области -3 < x < 3, -1 < y < 3. В режиме Trace можно исследовать, с каким шагом производятся измерения на разных участках графика. Каждый сдвиг курсора однократным нажатием клавиши [REPLAY] вправо приводит к появлению новых пар значений x и у. Это выглядит, например, так:

В первом случае шаг движения курсора по оси x составил 0,0476190476. Значение y при этом изменилось на 0,097505669. Для всех промежуточных значений x (0 < х < 0,0476190476) значения y при данном размере окна вывода не вычисляются. Будем считать их равными среднему значению, т. е. половине суммы значений на концах интервала, равного шагу движения курсора: 0,5(0 + 0,097505669) = 0,0487528345. То есть можно утверждать, что в данном интервале абсолютная погрешность меньше 0,05.

Чтобы по данному графику можно было определить приближенное значение 1,22, рассмотрим следующие показания:

Имеем: 1,19047619 < x < 1,238095238 и 1,41723356 < y < 1,532879819.

Очевидно, что 1,2 ближе к 1,19047619, чем к 1,238095238, поэтому в качестве приближенного значения 1,22 можно взять 1,41723356. Предложим учащимся сравнить абсолютные погрешности вычисленных значений по отношению к точному значению - 1,44. В первом случае имеем |1,41723356 - 1,44| < 0,03, во втором - |1,532879819 - 1,44| > 0,09. Бесспорно, что первое приближение точнее.

При рассмотрении приближенных вычислений можно обратить внимание учащихся на то, что бесконечные десятичные дроби калькулятор округляет. Максимально он "помнит" запись длиной в 12 значащих цифр. Есть у него и возможность задавать точность вычислений с помощью специально предусмотренных режимов, о которых уже говорилось выше.

Напомним, что задание точности вычислений определяется в режиме настроек. Для входа в него надо последовательно нажать клавиши [SHIFT] и [MENU] (переход в режим SET UP). На экране появится длинная таблица задания различных параметров. Перемещаться по ней можно с помощью клавиши [REPLAY] (строка выделяется цветом). Нужно выбрать строку с параметром Display.

При этом функциональные клавиши получат новые значения. Среди них: [F1] (значение Fix), [F2] (значение Sci) и [F3] (значение Norm). В случае нажатия клавиши [F1] (Fix) на дисплее появится вопрос о том, сколько знаков должно быть у выводимых чисел после запятой (от 0 до 9). Нужно ввести соответствующее число с помощью клавиш [0]-[9] и нажать [EXE] (ввод). Параметр Display получит соответствующее значение.

Значение параметра [F2] (Sci) указывает общее число знаков в числе при представлении его в стандартном виде (материал следующего года обучения). Задается аналогично.

Для задания параметров перехода к экспоненциальному представлению чисел надо нажать клавишу [F3] (Norm). Значение параметра поменяется с Norm1 на Norm2 или, наоборот, с Norm2 на Norm1.

Значение параметра Norm1 указывает на то, что числа буду представляться в экспоненциальном виде при |Х| < 10-2 (т. е. 0,01) и |Х| ≥ 1010.

Значение параметра Norm2 указывает на то, что числа буду представляться в экспоненциальном виде при |Х| < 10-9 (т. е. 0,000000001) и |Х| ≥ 1010.