1.4. Многочлены. Формулы сокращенного умножения
1. Первое направление применения графических калькуляторов при изучении учебного материала, посвященного многочленам и их преобразованиям, проверка правильности произведенных тождественных преобразований путем вычисления значений исходного и конечного выражений при подстановке в них произвольных значений переменных. Рекомендуя такой прием, следует обратить внимание учащихся на то, что в качестве значений переменных не стоит использовать 0 или 1, поскольку вероятность совпадения значений у не тождественно равных выражений при такой подстановке достаточно велика. Также нет смысла использовать многозначные значения. Посоветуем в качестве значений переменных выбирать десятичные дроби с одной-двумя значащими цифрами (0,3; 1,2; 2,7 и т.п.). Приведем примеры.
Пример № 617
Выполните приведение подобных членов многочлена 3х4 - 5х + 7х2-8х4 + 5х.
После приведения подобных членов получим выражение: -5х4 + 7х2.
Вычислим значения данного и полученного выражений при х = 2,1:
Значения у выражений совпали: есть основание считать, что подобные члены были приведены правильно.
Пример № 734
Раскройте скобки в выражении (7-2а)(4а2 + 4а + 3).
Если учащийся при раскрытии скобок не всегда учитывал знак, то он мог после приведения подобных членов получить, например, такое выражение: -8а3 + 36а2 + 34а + 21.
Найдем значения исходного и полученного выражений при а = 1,7:
Очевидно, что была допущена ошибка. Требуется проверить преобразования. Правильный ответ: -8а3 + 20а2 + 22а + 21. После внесения исправлений (с помощью клавиш [REPLAY] и [DEL]) получим:
2. Другой возможный путь проверки правильности преобразований - рассмотрение графиков функций, при котором в качестве первой функции берется исходное выражение, а второй - выражение после преобразований. Естественно, способ годится для тех случаев, когда выражение содержит только одну переменную. При наличии большего числа переменных все, кроме одной, можно заменить конкретными числами. Однако рассматривать такие сложные примеры представляется преждевременным.
Пример № 731
Проверим тождественность выражений: (х + 10)2 и х2 + 20х + 100.
Укажем калькулятору в режиме построения графиков построить заданные функции:
Если использовать стандартное окно вывода, то никаких графиков мы не увидим. Не будет их и в близлежащих областях:
Поэтому воспользуемся режимом Zoom (вход в режим - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F2]) и выберем команду [F5] (AUTO):
При выполнении этой команды графический калькулятор использует довольно сложный алгоритм:
- масштаб и границы интервала по оси x сохраняются без изменений;
- масштаб и границы интервала по оси y меняются так, чтобы минимальное значение функции на данном интервале соответствовало нижней границе окна вывода, а максимальное - его верхней границе.
График сильно "сплюснут", но зато он появился на экране. Сдвинем наше окно вывода так, чтобы минимальное значение, достигаемое графиком (параболой), оказалось примерно в центре экрана. После этого повторим команду AUTO режима Zoom:
Параметры у окна вывода получились нетривиальные, но график теперь можно исследовать в режиме Trace (слежения траектории, вход в режим - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F1]):
При переключении курсора с одного графика на другой (клавиша [REPLAY] нажимается вверх или вниз) никаких изменений на графике происходить не будет, будет меняться только запись функции над графиком, т. е. графики полностью совпали.
Основная сложность при использовании данного метода - правильно выбрать окно вывода. Для данного примера мы использовали режим Zoom (AUTO). В качестве альтернативы такому подходу можно рекомендовать задать сначала вручную окно побольше, а затем изменить его параметры. Например: (2 - 2х + х2)(х + 5) преобразуем в х3 + 3х2 - 8х + 10 и построим графики этих функций, задав для начала окно вывода довольно большим:
Видно, что параметры были выбраны неудачно, но часть графика в окне вывода появилась. По оси x размер окна лучше уменьшить, а по оси у, наоборот, увеличить, сдвинув границы:
Как и в предыдущем случае, графики совпадают, в чем можно убедиться в режиме Trace.
3. В систему упражнений включен новый тип уравнений, сводящихся к линейным (№№ 683-687). Можно порекомендовать учащимся выполнить проверку решения: подставить значение корня в левую и правую части уравнения и сравнить результаты. Иногда это легко сделать устно, а в других случаях - на графическом калькуляторе.
Пример № 686
Найдите корень уравнения:
а) 
Решив уравнение, получим x = –13. Подстановка легко выполняется устно: 9 = 9.
б) 
Решив уравнение, получим а = 1,5. Для проверки корня воспользуемся калькулятором.
