1.5. Системы линейных уравнений

Учащиеся знают, что график линейного уравнения строить проще, если уравнение преобразовать к виду y = kx + b. Также поступают и при обращении к графическому калькулятору. Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными ax + by = c, представим уравнение в виде

,

т. е. в виде функции y = f(x). График такой функции как раз и окажется графическим отображением решения данного уравнения.

Рассмотрим пример решения уравнения 5х + 2y = 12. Преобразуем данное уравнение к виду y = -2,5х + 6 и построим график данной функции, использовав для этого стандартное окно вывода:

В окне, при данном масштабе вывода, поместился лишь небольшой фрагмент графика. Воспользуемся режимом Zoom ([SHIFT] и [F2]), команда AUTO:

Напомним, что данная команда сохраняет для окна вывода границы по оси х, а в качестве границ по y выбирает минимальное и максимальное значения функции на данном интервале значений аргумента. Как видно из рисунка, масштаб по y также претерпел значительные изменения, но появилась возможность подробного исследования функции на данном интервале значений x в режиме Trace ([SHIFT] и [F1]).

Построенная прямая соответствует множеству точек, координаты которых - пары значений x и y - являются решением уравнения 5х + 2y = 12.

Отметим некоторые из них:

Отметим также, что масштаб по оси x был выбран так, что шаг перемещения курсора по ней равен 0,1. Это - значение параметров из стандартного окна вывода, которое мы сохранили. Рекомендуется, по возможности, сохранять его и при решении других задач.

Пример № 1203

График уравнения 8х - 5y = 14 проходит через точку с абсциссой 1,2. Найдите ординату этой точки.

Предложим учащимся выполнить это упражнение сначала аналитически (ответ: y = -0,88), а затем дать графическое решение и повторить решение для точек с абсциссой 1,3; 1,4 и др.

Преобразуем выражение: 5y = 8х - 14, откуда y = 1,6х - 2,8.

Последовательность действий при построении и исследовании графика такая же, как и в предыдущем примере: сначала используется стандартное окно, а затем масштаб меняется в режиме Zoom (AUTO). Исследование проводится в режиме Trace:

Пример № 1207

В линейном уравнении ах - у = 4 подберите коэффициент а так, чтобы график этого уравнения проходил через точку М (3; 5). Постройте график этого уравнения.

Получим уравнение y = 3х - 4. Учащиеся могут проконтролировать себя, построив график на калькуляторе и проверив положение точки М. Последовательность действий аналогична предыдущим заданиям:

При исследовании графиков функций желательно определить координаты наиболее характерных точек их графиков. Для данного графика такими точками являются, например, точки его пересечения с осями координат.

Напомним, что для определения координат точек пересечения графика функции с осями координат в графическом калькуляторе предусмотрен режим графических решений G-Solv (вход в режим - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F5]), в котором есть специальная команда ROOT (вызов команды - клавиша [F1]). При выполнении данной команды курсор будет перенесен в точку пересечения графика с осью х:

Другой возможный способ - использование команды X-CAL (клавиша [F2] продолжения меню функциональных клавиш режима G-Solv, появляющегося после нажатия [F6]()). Данная команда по значению y находит значение x и переносит в эту точку курсор:

Точно так же работает и команда Y-CAL ([F1] того же меню), только по значению x определяет значение у.

Обратим также внимание на то, что в правой нижней части экрана появляется имя выполненной команды.

2. Графический способ решения системы линейных уравнений предшествует алгебраическому. При изучении данного материала учащиеся должны понять, почему точка пересечения графиков двух функций является решением системы уравнений. Осознанный переход от формулы к графику не всем учащимся дается легко. Хотя, в принципе, цепочка логических рассуждений проста:

• график первой функции - графическое изображение тех значений x и у, которые являются решением первого уравнения;
• график второй функции - аналогичное графическое изображение тех значений x и y, которые являются решением второго уравнения;
• точка пересечения этих графиков является графическим изображением тех значений x и y, которые являются решением одновременно первого и второго уравнения, т. е. системы уравнений.

Использование графического калькулятора позволяет решать системы уравнений как с "удобными", так и с "неудобными" для вычислений числами. Рассмотрим подобные случаи. Решим графически систему уравнений:

В качестве окна вывода используем первоначально стандартное, а затем в режиме Zoom выполним команду AUTO ([F5]):

Как видно из рисунка, при выполнении команды AUTO для графиков двух функций в качестве границ окна вывода по оси y минимальное и максимальное значения выбираются из значений обеих функций.

Теперь надо решить данную систему уравнений, т.е. найти координаты точки пересечения графиков. Как учащиеся, должно быть, помнят из предыдущих примеров, в режиме Trace это не всегда можно сделать точно. В режиме G-Solv ([SHIFT] и [F5]) предусмотрена команда ISCT ([F5]) - команда точного перемещения курсора в точку пересечения графиков:

Рассмотрим пример с менее удобными для расчетов числами (также из учебника, стр. 182). Последовательность действий останется точно такой же. Сначала зададим функции и окно вывода по той же схеме, что и в предыдущих примерах:

Для информации мы привели копию экрана с указаниями параметров окна вывода, т.е. какими они получились после выполнения команды AUTO режима Zoom.

Приведем еще несколько примеров, решенных по аналогичной схеме.

Пример № 1147а

Исходную систему уравнений

преобразуем к виду, удобному для записи функций в калькуляторе:

Для данного примера достаточно удобным оказалось и стандартное окно вывода. Решить же систему можно было в режиме G-Solv (ISCT) или просто в режиме Trace.

Пример № 1148а

Преобразуем исходную систему уравнений

Воспользуемся первоначально стандартным окном вывода, а потом передвинем его с помощью клавиши [REPLAY] (дважды - вниз и один раз вправо). Параметры нового окна вывода приведены на рисунке.

Как видно из приведенных примеров, при графическом решении уравнений на калькуляторе их необязательно приводить к виду y = kx + b, достаточно - к виду y = f(x).

Пример № 1158а

Преобразуем

В данном случае мы воспользовались стандартным окном вывода, а потом сдвинули его вверх с помощью клавиши [REPLAY]. Однако не было бы ошибкой и воспользоваться режимом Zoom (AUTO):

И тот, и другой способ построения окна вывода дают возможность правильно решить задачу. Однако при использовании стандартного окна вывода масштаб по осям координат одинаков, что делает его использование несколько более предпочтительным.