(906)764-3094ПН-СБ с 10:00 до 18:00
We speak English

2.1. Рациональные дроби

1. В начале изучения темы желательно выполнить упражнения, направленные на формирорвание у учащихся основных навыков работы с графическим калькулятором. Так, при выполнении заданий на нахождение значений рациональных выражений для допустимых значений переменных закладываются навыки в обращении с дробными выражениями.

Ниже приводятся примеры заданий из учебника, при выполнении которых целесообразно использование графического калькулятора.

Пример № 19

В упражнении предлагается с помощью графического калькулятора найти значение дроби

при х = 2,47 и округлить результат до сотых.

Обратим внимание учащихся на следующие моменты:

  • Дробь может быть введена как в стандартном математическом, так и "линейном" виде. При "линейном" вводе дроби возникает необходимость использования скобок. Посоветуем учащимся прежде рассмотреть рациональное выражение и, предвидя порядок выполнения действий, мысленно расставить скобки.

Напомним: в стандартной математической форме введенная в калькулятор дробь имеет вид точно такой же, как в учебнике:

А в линейной форме - такой:

Знак умножения между коэффициентом и х ставить не обязательно в обоих случаях.

Двоякая форма записи возможна в режиме вычислений. Вход в режим из главного меню осуществляется после выбора пиктограммы, помеченной RUN-MAT (перемещение выделения по таблице осуществляется, как всегда, с помощью клавиши [REPLAY], выбор - клавишей [EXE]):

Отметим, что в другом часто используемом режиме - графическом (пиктограмма GRAPH) - можно использовать только линейную форму записи.

Напомним также, что при стандартной форме записи дробей следует сначала ввести шаблон дроби, нажав клавишу [ab/c]. На экране появится шаблон:

Ввод данных по шаблону осуществляется в том месте, где в данный момент расположен курсор. Перемещение курсора по шаблону и вывод курсора за его границы осуществляется с помощью клавиши [REPLAY].

Внимание: возможна ситуация, когда при нажатии клавиши [ab/c] вместо шаблона появится символ . Это означает, что в калькуляторе были неверно установлены настройки представления информации, и их надо срочно изменить на правильные. Для этого нужно вызвать меню установок, последовательно нажав клавиши [SHIFT] и [MENU] (SET UP). В появившейся таблице - выделить цветом строку Input Mode (она уже будет выделена при вызове таблицы, так как в списке она - самая первая). Затем надо нажать [F1] (текущее значение функциональной клавиши Math), задав тем самым стандартную форму ввода дробей. Выход из таблицы и возвращение к предыдущему режиму - нажатие клавиши [EXIT] или клавиши [EXE].

  • Для вычисления значения выражения, содержащего переменную, этой переменной предварительно нужно присвоить значение. При вычислении значения выражения с помощью карандаша и бумаги можно сразу подставить значение переменной, некоторые вычисления проделать устно и найти итоговый результат, используя калькулятор, однако при этом более вероятно появление сопутствующих ошибок.

Напомним, что для присвоения переменной ее числового значения используется специальная команда присваивания:

<число> ➝ <имя переменной>

По окончании ввода команды надо нажать клавишу [EXE]. В правой части экрана в следующей строке будет выведено значение переменной. Теперь при вычислении значения выражения с этой переменной вместо нее будет автоматически подставляться введенное нами значение:

  • В калькуляторе предусмотрена возможность задания точности вычислений. В данном примере делать это не нужно: учащиеся сами должны правильно провести округление. Однако учитель должен быть готов к возможной переустановке настроек калькулятора.

Напомним, что формат вывода данных задается в калькуляторе через меню установок аналогично тому, как задавалась стандартная форма ввода дробей. Вход в режим: клавиши [SHIFT] и [MENU] (SET UP). В таблице надо выделить цветом строку Display. Эта строка - последняя в списке. Поскольку список "закольцован", то к ней можно перейти не только многократным нажатием клавиши [REPLAY] вниз, но и однократным нажатием ее вверх, что быстрее и удобнее:

Обычный режим вывода информации - Norm1 (чтобы восстановить его, надо нажать [F3], текущее значение данной функциональной клавиши - Norm). В этом режиме числа представляются в обычном виде, после десятичной точки выводится 10 знаков. Ну а большие (большие 1010) или маленькие (меньшие 0,01) числа будут представлены в стандартном виде, с которым учащиеся ознакомятся при изучении темы 5.

Кроме того, предусмотрены режимы Sci (задает представление чисел в стандартном виде) и Fix (указывает, до какого числа знаков после запятой надо округлять ответ). Для входа в последний режим надо нажать [F1] (Fix). На экране появится вопрос о числе знаков. Поскольку мы хотели округлять с точностью до сотых, введем 2 и нажмем [EXE]. Это значение и будет указано в таблице:

Теперь, если выйти из меню и пересчитать рассматриваемое выражение (для этого надо перевести курсор с помощью клавиши [REPLAY] на строку с выражением и нажать [EXE]), будет получен ответ с двумя знаками после запятой (десятичной точки):

В случае, если учитель все"таки решит ознакомить учащихся с этой возможностью, желательно после окончания вычислений восстановить настройки и вернуть режим Norm1.

  • Выполненные ранее калькулятором действия могут быть повторены для других настроек, для других значений переменных или отредактированных выражений. Для этого надо перевести курсор с помощью клавиши [REPLAY] на соответствующее место ранее введенной строки. Строка, если потребуется, может быть отредактирована. Теперь нажатие клавиши [EXE] приведет к повторному вычислению выражения в этой строке и всех выражений в строках, расположенных после нее.

Данное действие было только что продемонстрировано при смене настроек с Norm1 на Fix2. Теперь повторно вычислим значение выражения для х=3,47. Для этого переместим курсор в строку с командой присваивания, несколько раз нажав клавишу [REPLAY] вверх. Затем нажмем клавишу [REPLAY] вправо. Вместо выделения строки в ней появится курсор.

Теперь строку можно редактировать. Переместим курсор на одну позицию вправо, нажав клавишу [REPLAY] вправо. Удалим 2 с помощью клавиши [DEL] и введем на ее место 3. Теперь нажатие клавиши [EXE] приведет к повторному выполнению команды присваивания (значением x станет 3,47), а также вычислению значения дробного выражения:

Отметим, что перед вычислением параметры вывода были изменены на Norm1.

Таким образом, решение задачи сводится к выполнению следующего алгоритма (последовательности шагов):

  • 1 шаг: ввести данное значение переменной (выполнить команду присваивания);
  • 2 шаг: ввести рациональную дробь;
  • 3 шаг: найти значение выражения;
  • 4 шаг: записать результат в тетрадь;
  • 5 шаг: округлить результат до сотых.

Повторим теперь все эти шаги для линейной записи выражения:

После округления получим ответ: 0,21.

Пример № 93

В упражнении требуется упростить выражение

и найти его значение при х = - 1,5.

Упростив данное в условии выражение, получим дробь

Напомним, что прежде чем приступить к выполнению нового примера на калькуляторе, его память рекомендуется очистить от ранее введенных данных. Для этого надо нажать клавишу [F2] (текущее значение DEL). Значения у функциональных клавиш изменятся. Теперь нажатие [F1] (DEL-L) приведет к удалению строки, в которой находился курсор. Нажатие [F2] (DEL-A) приведет к удалению всего ранее набранного. Нажмем эту клавишу. Калькулятор попросит подтвердить команду. Нажмем [F1]. Экран калькулятора (равно как и его память) будет очищен от всех ранее набранных команд и выражений. Отметим, что удалены будут только данные, набранные в режиме вычислений. Данные, набранные в других режимах (например, функции в графическом режиме), в памяти калькулятора сохранятся.

Вычислим значение дроби на калькуляторе при х = -1,5. Действия аналогичны тем, что выполнялись в предыдущем примере:

Вычислив значение дроби и округлив результат до сотых, запишем ответ: ≈ - 0,53.

Сравним ответ с данным в учебнике:

Действительно,

Убедиться в правильности преобразования обыкновенной дроби в десятичную и обратно можно и простым нажатием клавиши. У калькулятора предусмотрена команда такого перевода, задаваемая нажатием клавиши [F↔D]. Повторное нажатие этой клавиши восстановит представление результата в прежней форме:

Отметим, что для самопроверки возможно провести и вычисление значения исходного выражения:

Ответ получился точно такой же.

При наборе исходного выражения мы не удаляли ранее набранную дробь, а отредактировали ее. Обратим внимание, что при завершении набора первой дроби курсор должен быть переведен в положение после нее, а для добавления второй дроби надо снова вводить шаблон.

2. Полезно найти значения данного рационального выражения для нескольких допустимых значений переменных, а затем предложить учащимся выполнить тождественное преобразование этого выражения и вновь найти его значения для тех же значений переменных. Такое упражнение способствует пониманию того факта, что при тождественном преобразовании выражения получается новое по форме выражение и значения выражений совпадают для равных значений переменных.

Так, при преобразовании в дробь выражений, предлагаемых в упражнении № 87, учащиеся часто оставляют незавершенными преобразования к общему знаменателю.

Пример № 87

д) Предположим, что учащийся выполнил преобразования с ошибкой и получил

вместо

В случае ошибки предложим учащимся найти значение данного выражения и выражений, полученных в результате преобразования:

для нескольких значений х и сделать соответствующий вывод.

Видно, что значения первого и третьего выражения совпадают, а вот у второго выражения при тех же значениях переменной значения уже другие.

3. При выполнении заданий из рубрики "Упражнения для повторения" желательно напомнить учащимся алгоритм построения графика с помощью калькулятора.

С этой целью воспользуемся, например, упражнением № 105, в котором требуется умение строить график линейной функции.

Пример № 105

В одной системе координат построим графики функций у = - 4х+1 и у = 2х-3.

Напомним, что основным режимом построения графиков функций является специальный графический режим, вход в который осуществляется из главного меню. На экране появляется таблица - список функций. Функции могут быть только от одной переменной (х). Запись и редактирование функций осуществляется так же, как и во всех ранее рассмотренных примерах. Единственное ограничение: запись функций должна иметь линейный вид. То есть использование дробей, как в режиме вычислений, невозможно. Степени выше второй также указываются с помощью специального символа ^. Подробнее эти особенности будут рассмотрены на более сложных примерах.

Напомним значения функциональных клавиш, которые, впрочем, понятны из их названий:

  • SEL ("select") - выбор функций, для которых надо построить графики (в записи выбранных функций знак равенства выделен цветом),
  • DEL ("delete") - удаление функции (выражения ее задающего) из списка,
  • TYPE - тип функции, т.е. в каких координатах она задана: ортогональных или полярных (на данном этапе не используется),
  • STYL ("style") - какой линией чертится функция: тонкой, жирной или пунктиром (показана в квадратных скобках справа),
  • GMEM ("graphic memory") - сохранение графиков в памяти (на данном этапе не используется),
  • DRAW - нарисовать выбранные графики.

Особое внимание рекомендуется обратить на команду SEL ([F1]). Снятие или восстановление выделения знака равенства достигается однократным нажатием этой клавиши. Ее случайное нажатие приводит к тому, что график может быть не построен, а вместо этого будет выдано сообщение об ошибке:

Как видно на рисунке, знаки равенства в записи функций приведенного примера не выделены. Необходимо переместить выделение строки (с помощью клавиши [REPLAY]) на каждую из этих функций по очереди и, нажав [F1] (SEL), восстановить выделение знаков равенств.

Отметим также, что если бы выделение было снято только с одной функции, то сообщения об ошибке не было бы, но был бы построен график только второй (выделенной) функции.

Это довольно часто встречаемая ошибка, которая может вызвать затруднения у учащихся. Поэтому рекомендуется периодически напоминать учащимся о необходимости проверить правильность выделения функций в списке функций.

Следующий шаг - определение "окна вывода", то есть масштаба графика и границ по осям координат, в которых он должен быть построен.

Напомним, что размер "окна вывода" задается в режиме View Window, вход в который осуществляется из графического режима последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [F3] (V-Window).

На рисунке выше приведена таблица параметров "окна вывода" для их стандартных значений. Для того, чтобы их установить, достаточно нажать клавишу [F1] (INIT). Это "стандартное окно вывода" удобно тем, что в нем масштаб по осям х и у одинаков, а сдвиг курсора в любую из сторон осуществляется с шагом 0,1. Это получается из-за размера экрана данной модели калькулятора (127 x 63 точки). При таком масштабе размер точки как раз равен 0,1 x 0,1. Ну а точка - это и есть минимальный шаг, на который можно сдвинуть курсор по экрану.

Теперь построим графики рассматриваемых функций для стандартного окна вывода. Для этого надо выйти из режима V-Window, нажав [EXIT], вернуться к таблице функций и нажать [F6] (DRAW):

В данном случае окно вывода оказалось достаточно удобным: в нем видны графики обеих функций. Более того, в окне поместились одновременно как точки пересечения графиков функций с осями координат, так и между собой. Вместе с тем, можно несколько "улучшить" картинку. Точка пересечения графиков (а именно она нас и интересует) оказалась расположена не в центре, а в нижней части экрана.

Не переходя в режим V-Window, можно "передвинуть" окно вывода с помощью клавиши [REPLAY]. Нажмем эту клавишу один раз вниз:

Окно как бы переместится по графику, сделав видным другую его часть. В данном случае мы сдвинули окно вниз. Однократное нажатие клавиши [REPLAY] в любую из сторон приводит к сдвигу окна в том же направлении на расстояние, равное 12 точкам экрана. При текущем масштабе это расстояние равно 1,2 по оси у.

Теперь график можно исследовать. Основные режимы исследования графиков - Trace и G-Solv. Рекомендуется повторить с учащимися, какие действия можно совершать в этих режимах.

Режим Trace: переход в режим - [SHIFT] и [F1] (Trace). На одном из графиков функций появляется курсор. В левой верхней части экрана указывается, какой функции соответствует данный график. В нижней строке выводятся текущие значения x и y, соответствующие положению курсора. Перемещение курсора по графику - клавиша [REPLAY], нажатие вправо или влево. Перевод курсора на другой график - та же клавиша, но уже нажатие вверх или вниз.

Еще раз обратим внимание на то, что при данном масштабе курсор сдвигается по оси x на 0,1 при каждом нажатии клавиши [REPLAY] вправо или влево. Значение y при этом вычисляется и равно значению соответствующей функции для данного x.

Переместив курсор в точку пересечения графиков, можно найти ее примерные координаты, перемещая курсор, например, по графику функции y=2x-3:

Точка пересечения находится между x=0,6 и x=0,7 по оси x, а по оси y - между y=-1,8 и y=-1,6.

Если перемещать курсор по графику другой функции, интервал для x сохранится, а вот для y он будет несколько другой:

Режим G-Solv: переход в режим - [SHIFT] и [F5] (G-Solv). Режим позволяет определить точное значение функции по задаваемому значению аргумента и, наоборот, значение аргумента по задаваемому значению функции, найти точки пересечения графиков функций с осями координат, а также - между собой. В данном случае нас интересует последняя возможность.

Напомним, что для этого надо войти в режим G-Solv ([SHIFT] и [F5]) и выполнить команду ISCT, нажав клавишу [F5] (ISTC - от английского "intersection" - пересечение).

Имеем: (0,6666666667; -1,666666667).

Решив задачу без построения графиков, получим точные значения координат:

Очевидно, что

Можно предложить проверить это на калькуляторе.

Отметим, что набрав число в виде десятичной дроби, перевести его в вид обычной дроби можно не всегда.

Пример № 129

В упражнении предложено построить графики функций y=1,2x+ 0,9 и y=-1,3x+ 4,4, найти координаты точки пересечения графиков и абсолютные погрешности приближенных значений абсциссы и ординаты точки пересечения.

Действия аналогичны предыдущему примеру. Их последовательность указана в виде ряда картинок экрана калькулятора.

Стандартное окно вывода не очень удачно показывало график. Его переместили, дважды нажав клавишу [REPLAY] вверх.

Исследование графиков проводится в режиме Trace. Нетрудно убедиться, что при x=1,4 значения обеих функций совпадают:

Графическое решение на калькуляторе дало: x≈1,4, y≈2,58. Вычислив точные значения координат, получим: x=1,4, y=2,58. Графическое решение оказалось точным.

Несколько изменим условие примера, заменив первое уравнение на: y=1,1x+1,4.

Напомним, что для редактирования формулы надо выделить строку с первой функцией цветом с помощью клавиши [REPLAY], нажимая ее вверх или вниз. Затем - нажать эту же клавишу вправо, и курсор появится в данной строке. Редактирование надо осуществлять, перемещая по строке курсор с помощью клавиши [REPLAY] вправо и влево, удаляя символы клавишей [DEL] и набирая новые на клавиатуре.

Теперь найти точное значение точки пресечения в режиме Trace не получится:

Определим координаты точки пересечения по первому графику. Будем считать, что x≈1,3, y≈2,83.

Вычислим значение точно (на бумаге или в режиме G-Solv).

Получилось: x=1,25, y=2,775.

Абсолютная погрешность приближенных значений, полученных в режиме Trace, для абсциссы равна |1,25-1,3| = |-0,05| = 0,05, ординаты - |2,775-2,83| = |-0,055| = 0,055.

4. При изучении новой темы "Функция и ее график" возможности использования калькулятора становятся шире и придают работе учащихся исследовательский характер.

  • Построение графика функции (учебник, с. 41) рекомендуем начать с построения таблицы ее значений.

Напомним, что построение таблиц осуществляется в табличном режиме, вход в режим осуществляется через главное меню. Появляется таблица - список функций, полностью аналогичная той, что рассматривалась в предыдущих примерах в графическом режиме:

В ней даже сохраняются формулы, которые были ранее введены в графическом режиме. Единственное отличие: таблица подписана Table Func, а не Graph Func.

Отметим, что перед построением новых функций список функций во избежание путаницы рекомендуется очищать от ненужных. Делается это с помощью клавиши [F2] (команда DEL).

Теперь, нажав [F5] (команда SET), надо задать начальное и конечное значение аргумента, а также шаг его изменения при вычислении таблицы. Выход из режима установок - клавиша [EXIT].

Сначала найдем значения функции при изменении значений аргумента от 1 до 12 с шагом 1:

Отметим, что таблица не помещается на экране полностью. Для ее просмотра надо воспользоваться клавишей [REPLAY].

Рассмотрим расположение соответствующих точек на координатной плоскости:

Построить найденные точки на координатной плоскости можно сразу, нажав [F6] (команда G-PLT), но в данном случае очевидно, что стандартное окно вывода не сможет вместить все точки:

Вычисленные значения существенно выходят за границы окна, поэтому их следует изменить.

К сожалению, для сохранения одинакового масштаба размер окна по оси x должен быть вдвое больше, чем по оси y:

Как и в случае работы в графическом режиме, построенный график (точки) можно исследовать в режиме Trace. В этом случае курсор будет "перескакивать" с одной точки на другую, а значения функции и аргумента будут выводиться в нижней строке экрана.

Масштаб окна вывода может быть изменен так, чтобы график располагался на всем экране, а не только в его середине. В этом случае рекомендуется взять одинаковые значения границ по x и y. Однако тогда масштаб по оси x будет в два раза крупнее, чем про оси y, и график получится "приплюснутым". Выбор варианта вывода (масштаба по осям) - на усмотрение учителя:

Общий вид графика в положительной части оси x, в основном, понятен. Теперь изменим границы построения таблицы, включив в них и отрицательную область:

Таблица построена, но если начать ее просматривать, то при x=0 в нее будет занесено значение ERROR, то есть "ошибка". На этот момент следует обратить внимание учащихся и проанализировать с ними, почему так случилось. Ведь при x=0 мы пытались вычислить значение выражения, в котором требовалось разделить число 12 на 0, что делать нельзя.

Затем следует отметить найденные точки на координатной плоскости:

Был сохранен масштаб из предыдущего примера, при котором график "сплюснут" по оси y.

Теперь рекомендуется перейти в графический режим и построить там уже непрерывный график:

При смене режима рекомендуем обратить внимание на наличие (или отсутствие) выделения на знаке равенства в записи функции. Если выделения нет (в некоторых моделях калькуляторов выделение может не сохраняться при смене режима), его надо восстановить, нажав [F1] (SEL).

Из графика видно, что при x=0 функция не определена, а при малых по модулю x значение функции (опять же по модулю) велико. Исследование функции можно провести в режиме Trace. Кроме того, окно вывода может быть смещено с помощью клавиши [REPLAY]. Сделать это нужно до перехода в режим Trace, там "картинку" уже подвинуть нельзя, только курсор.

  • Построим и исследуем график функции при различных значениях k > 0.

Для начала, по усмотрению учителя, можно показать учащимся, как меняется график данной функции с изменением k в динамическом режиме. Исследовать графики в этом режиме нельзя, но визуальное представление о качественных изменениях в графике он дает.

Динамические графики строятся в специальном режиме DYNA, вход в который осуществляется из главного меню. На экране появится таблица - список функций, почти полностью аналогичная рассмотренным ранее. Изменится только заголовок и часть меню функциональных клавиш. Внесем в список функцию Y=K:X. Букву K надо вводить последовательным нажатием клавиш [ALPHA] и [,] (подписана сверху красным - K).

Теперь надо задать границы и шаг изменения K. Для этого надо перейти в меню VAR (клавиша [F4] - VAR, от английского "variable" - переменная). Появится новая таблица. В ней надо задать параметры для K, для перехода в режим ввода - нажать [F2] (SET). Ввод значений осуществляется как и всегда: строку надо выделить цветом с помощью клавиши [REPLAY], набрать значение параметра и ввести его, нажав [EXE].

Выход из режима ввода границ и возвращение к предыдущему уровню меню осуществляется клавишей [EXIT]. Теперь надо задать режим вывода графиков. Для этого - нажать [F3] (SPEED - "скорость").

Рекомендуется выбрать самый первый из них: [F1] - Stop&Go. В этом режиме калькулятор не переходит от одного графика к другому, пока не будет нажата клавиша [EXE]. В остальных - смена "картинок" будет осуществляться автоматически с большей или меньшей скоростью.

Нажав [EXIT], надо вернуться к предыдущему меню и, нажав [F6] (DYNA), начать вывод графиков. После каждого нажатия [EXE] график будет меняться. Внизу будет указано текущее значение коэффициента.

Отметим еще, что окно вывода в данном примере не меняли, сохранив его из предыдущего примера. Последнее - на усмотрение учителя.

Аналогично будут построены все 10 графиков, после чего коэффициент начнет уменьшаться, а построение графиков будет продолжено. Выход из режима и возвращение к предыдущему меню - клавиша [EXIT].

Из динамически меняющихся "картинок" видно, что с уменьшением K график "прижимается" к осям координат, а при его увеличении, наоборот, - отдаляется от них.

Затем следует более подробно исследовать график в обычном графическом режиме.

Пусть k =1, имеем .

В рассматриваемом ниже примере окно вывода было изменено. Его параметры - на усмотрение учителя.

Получим график. Исследуем его в режиме Trace. Отметим, что при х=0 функция не определена:

Отметим, что при изменении масштаба по осям координат (в сторону увеличения параметров) более наглядным делается "скачок" курсора в точке х=0 при движении курсора между точками с последней (на графике) положительной и первой отрицательной абсциссой.

Теперь увеличим значение k. Пусть k=2.

Графики рекомендуется исследовать в режиме Trace.

График новой функции будет аналогичен предыдущему, но по отношению к нему расположен с внешней стороны от начала координат. При росте по абсолютной величине значений х и, наоборот, при приближении их к 0, графики функций будут сближаться, но не совпадут.

Учащиеся могут проверить это сами в режиме Trace. Например, можно заметить (прочитать координаты точек): при х ≈ –4 у1≈ -0,24, у2≈ -0,49.

Также полезно изменить окно вывода. Например:

Может сложиться впечатление, что графики совпали, но это не так, в чем можно убедиться в режиме Trace:

Можно также изменить масштаб вывода, воспользовавшись функцией BOX в режиме Zoom.

Напомним, что для входа в режим Zoom ("увеличение") надо последовательно нажать клавиши [SHIFT] и [F2] (Zoom). Меню функциональных клавиш изменится. Надо нажать [F1] (BOX - "прямоугольник"). На экране появится курсор, который можно будет свободно передвинуть в любую точку с помощью клавиши [REPLAY].

Курсор надо перевести в любой из углов области, которую планируется изучить более подробно, и нажать [EXE]. Теперь, при перемещении курсора по экрану, он будет "тянуть" за собой противоположный угол прямоугольника. Выделив прямоугольником необходимую область, надо снова нажать [EXE]. Выделенный прямоугольник станет новым окном вывода.

  • Следующий шаг исследования функции - изменение знака коэффициента k на противоположный.

Рассмотрим, как поведет себя график функции при k < 0.

Обратим внимание, что количество уже заданных в калькуляторе функций растет, но выводить графики на экран можно по одному, используя функцию SEL ([F1]).

Изменим параметры окна вывода и построим график функции .

Внешне график функции очень похож на график функции , но расположен во 2-й и 4-й координатных четвертях.

Выведем оба графика на экран калькулятора (изменив у первой функции форму знака "=" в меню функций с помощью команды SEL).

5. В конце темы можно продемонстрировать и более сложные графики:

Графики этих функций будут аналогичны графику , но сдвинуты в координатной плоскости на единичный отрезок вправо (или влево). Почему это происходит, видно из соответствующих формул.

Сильным учащимся можно предложить построить график функции

и объяснить его "поведение".