2.2. Квадратные корни
1. При рассмотрении материала о представлении рационального числа бесконечной десятичной дробью применение графического калькулятора позволяет значительно увеличить число разбираемых примеров.
Напомним, что в режиме вычислений предусмотрено представление чисел в виде обыкновенных дробей. Предусмотрена и команда перевода чисел из представления в виде обыкновенной дроби в десятичную и обратно. Эта команда дается нажатием клавиши [F↔D].
Последовательность действий такова:
- Ввести шаблон обычной дроби, нажав клавишу [ab/c].
- Заполнить по шаблону значения числителя и знаменателя, используя клавишу [REPLAY] и клавиши с цифрами.
- Нажать [EXE], завершив ввод числа (оно появится еще раз в правой части следующей строки).
- Нажать [F↔D] (представление числа в правой части строки будет заменено на десятичную дробь).
Например:
Как видно из последнего примера, период у десятичной дроби может получиться и достаточно большим. Может он быть и гораздо больше, но тогда 10 знаков, выводимых графическим калькулятором, не хватит для его определения. Например, для следующего числа:
Повторяющаяся часть дроби (571428) второй раз уже не смогла полностью поместиться на экране. А во многих случаях повторяющаяся часть дроби содержит больше 10 цифр, и выделить ее с помощью данной операции сложно. Можно взять остаток и отдельно поделить его еще раз, но для иллюстрирование рассматриваемого материала это представляется избыточным.
2. При изучении параграфа 5 "Арифметический квадратный корень" целесообразно научить ребят находить значения квадратных корней с помощью калькулятора.
Найдем, например, значение корня .
Напомним, что знак квадратного корня √ вводится в графическом калькуляторе перед выражением последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [х2] (√). После него следует набрать подкоренное выражение. В режиме вычислений курсор будет находится под знаком √, и знак √ будет при наборе подкоренного выражения "удлиняться" вправо, охватывая его. Чтобы завершить ввод подкоренного выражения и приступить к набору других частей выражения, надо нажать клавишу [REPLAY] вправо. Курсор при этом выйдет из под знака корня. В остальных режимах, например, графическом, используется линейная форма записи, и подкоренное выражение надо заключать в скобки.
В систему упражнений рекомендуем включить вычисление значений выражений типа:
3. Для нахождения приближенных значений квадратного корня в учебнике приведен алгоритм вычисления квадратного корня на примере вычисления √2.
Повторим его на калькуляторе в режиме таблиц:
В режиме SET ([F5]) зададим сначала шаг вычисления, равный 0,1:
Просмотрим таблицу до интересующего нас значения 2:
Из таблицы видно, что 1,4 < √2 < 1,5.
Построим таблицу для данного диапазона с шагом 0,01:
Имеем 1,41 < √2 < 1,42.
Продолжим процесс.
Заметим, что число вводилось в виде 0,001, но калькулятор представил его в виде 1Е-03, что означает 1x10-3, то есть то же самое. Подробнее о стандартном виде числа говорится в главе 5 учебника:
Таким образом, с помощью калькулятора весь рассматриваемый в учебнике процесс учащиеся могут реализовать самостоятельно.
Аналогичным способом они могут найти корни из других чисел.
Для √3 и √5 имеем:
Далее с калькулятором выполняются задания №№ 327-334 из учебника.
4. При работе с калькулятором имеет смысл показать учащимся еще один прием вычисления приближенного значения квадратного корня, известный как способ деления пополам.
Принцип вычислений чрезвычайно прост. Осуществим его для стандартного примера √2. Сначала прикинем, где этот корень может находиться. Очевидно, что 1< √2 <2. Теперь возьмем среднее значение между двумя ограничениями - это 1,5 - и возведем его в квадрат: 1,52=2,25. Так как 2,25 больше 2, то верно, что 1< √2 <1,5.
Повторяем процесс: снова находим среднее значение: (1+1,5)/2=1,25, возводим его в квадрат: 1,252=1,5625 и результат сравниваем с 2. Делаем вывод: 1,25< √2 <1,5.
Если представить процесс графически, то на координатной прямой мы выбираем отрезок, на котором находится значение искомого корня. Затем делим отрезок пополам и смотрим, на каком из меньших отрезков будет находиться корень. Делим его пополам и т.д. Довольно скоро значения концов отрезков будут очень мало различаться между собой: корень может быть найден с высокой степенью точности.
Реализовывать этот процесс вручную довольно долго. С калькулятором все делается гораздо проще. При этом можно не набирать формулу снова и снова, а перемещать к ней курсор с помощью клавиши [REPLAY] и вносить требуемую правку.
Можно также использовать функцию Ans ([SHIFT] и "ответ"):
Продолжив вычисления, получим:
Ответ найден с довольно высокой степенью точности.
5. Построение и исследование графика функции .
График можно исследовать в режимах Trace и G-Solv для фиксированных значений x или y:
Для сопоставления графиков и у=х2 можно построить одновременно эти графики, а также график у=х.
6. При изучении свойств арифметического квадратного корня в учебнике предлагаются упражнения №№ 375-376, наглядно иллюстрирующие применение математических знаний.
Рекомендуем учащимся по ходу вычислений не забывать о приемах устного счета:
Пример № 376
На втором шаге преобразования выражения мы использовали основное свойство дроби, помножив сначала числитель и знаменатель на 10 и затем разделив их на 9, а затем воспользовались калькулятором.
Здесь же целесообразно использовать калькулятор как средство самоконтроля: сначала получить ответ, упрощая выражение, а затем провести непосредственно вычисления на калькуляторе.
Пример № 394
Пример № 435
7. Полезны задания на вычисления по формулам. Приведем пример.
Объем конуса V вычисляется по формуле
.
Выразите из этой формулы радиус основания и вычислите его значение при V = 59 см3, H = 9 см.
Решение:
Получим формулу
.
При данных значениях V и H найдем значение R:
Обратим внимание на ввод числа π на калькуляторе. Для этого предусмотрена специальная команда, задаваемая последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [EXP] (над этой клавишей помещена надпись желтым шрифтом - π). На экран так и будет выведен символ π, а не равное ему число. Однако чтобы калькулятор не "путал" его с обычными символами, знаки арифметических действий при нем пропускать нельзя.
С этой же целью можно предложить учащимся при выполнении заданий типа №№ 340, 342, 400, 442 не ограничиваться получением новой формулы, а посчитать по формуле, придавая переменным допустимые значения.