(495)240-8280ПН-СБ с 12:00 до 20:00
We speak English

2.2. Квадратные корни

1. При рассмотрении материала о представлении рационального числа бесконечной десятичной дробью применение графического калькулятора позволяет значительно увеличить число разбираемых примеров.

Напомним, что в режиме вычислений предусмотрено представление чисел в виде обыкновенных дробей. Предусмотрена и команда перевода чисел из представления в виде обыкновенной дроби в десятичную и обратно. Эта команда дается нажатием клавиши [F↔D].

Последовательность действий такова:

  • Ввести шаблон обычной дроби, нажав клавишу [ab/c].
  • Заполнить по шаблону значения числителя и знаменателя, используя клавишу [REPLAY] и клавиши с цифрами.
  • Нажать [EXE], завершив ввод числа (оно появится еще раз в правой части следующей строки).
  • Нажать [F↔D] (представление числа в правой части строки будет заменено на десятичную дробь).

Например:

Как видно из последнего примера, период у десятичной дроби может получиться и достаточно большим. Может он быть и гораздо больше, но тогда 10 знаков, выводимых графическим калькулятором, не хватит для его определения. Например, для следующего числа:

Повторяющаяся часть дроби (571428) второй раз уже не смогла полностью поместиться на экране. А во многих случаях повторяющаяся часть дроби содержит больше 10 цифр, и выделить ее с помощью данной операции сложно. Можно взять остаток и отдельно поделить его еще раз, но для иллюстрирование рассматриваемого материала это представляется избыточным.

2. При изучении параграфа 5 "Арифметический квадратный корень" целесообразно научить ребят находить значения квадратных корней с помощью калькулятора.

Найдем, например, значение корня .

Напомним, что знак квадратного корня √ вводится в графическом калькуляторе перед выражением последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [х2] (√). После него следует набрать подкоренное выражение. В режиме вычислений курсор будет находится под знаком √, и знак √ будет при наборе подкоренного выражения "удлиняться" вправо, охватывая его. Чтобы завершить ввод подкоренного выражения и приступить к набору других частей выражения, надо нажать клавишу [REPLAY] вправо. Курсор при этом выйдет из под знака корня. В остальных режимах, например, графическом, используется линейная форма записи, и подкоренное выражение надо заключать в скобки.

В систему упражнений рекомендуем включить вычисление значений выражений типа:

3. Для нахождения приближенных значений квадратного корня в учебнике приведен алгоритм вычисления квадратного корня на примере вычисления √2.

Повторим его на калькуляторе в режиме таблиц:

В режиме SET ([F5]) зададим сначала шаг вычисления, равный 0,1:

Просмотрим таблицу до интересующего нас значения 2:

Из таблицы видно, что 1,4 < √2 < 1,5.

Построим таблицу для данного диапазона с шагом 0,01:

Имеем 1,41 < √2 < 1,42.

Продолжим процесс.

Заметим, что число вводилось в виде 0,001, но калькулятор представил его в виде 1Е-03, что означает 1x10-3, то есть то же самое. Подробнее о стандартном виде числа говорится в главе 5 учебника:

Таким образом, с помощью калькулятора весь рассматриваемый в учебнике процесс учащиеся могут реализовать самостоятельно.

Аналогичным способом они могут найти корни из других чисел.

Для √3 и √5 имеем:

Далее с калькулятором выполняются задания №№ 327-334 из учебника.

4. При работе с калькулятором имеет смысл показать учащимся еще один прием вычисления приближенного значения квадратного корня, известный как способ деления пополам.

Принцип вычислений чрезвычайно прост. Осуществим его для стандартного примера √2. Сначала прикинем, где этот корень может находиться. Очевидно, что 1< √2 <2. Теперь возьмем среднее значение между двумя ограничениями - это 1,5 - и возведем его в квадрат: 1,52=2,25. Так как 2,25 больше 2, то верно, что 1< √2 <1,5.

Повторяем процесс: снова находим среднее значение: (1+1,5)/2=1,25, возводим его в квадрат: 1,252=1,5625 и результат сравниваем с 2. Делаем вывод: 1,25< √2 <1,5.

Если представить процесс графически, то на координатной прямой мы выбираем отрезок, на котором находится значение искомого корня. Затем делим отрезок пополам и смотрим, на каком из меньших отрезков будет находиться корень. Делим его пополам и т.д. Довольно скоро значения концов отрезков будут очень мало различаться между собой: корень может быть найден с высокой степенью точности.

Реализовывать этот процесс вручную довольно долго. С калькулятором все делается гораздо проще. При этом можно не набирать формулу снова и снова, а перемещать к ней курсор с помощью клавиши [REPLAY] и вносить требуемую правку.

Можно также использовать функцию Ans ([SHIFT] и "ответ"):

Продолжив вычисления, получим:

Ответ найден с довольно высокой степенью точности.

5. Построение и исследование графика функции .

График можно исследовать в режимах Trace и G-Solv для фиксированных значений x или y:

Для сопоставления графиков  и у=х2 можно построить одновременно эти графики, а также график у=х.

6. При изучении свойств арифметического квадратного корня в учебнике предлагаются упражнения №№ 375-376, наглядно иллюстрирующие применение математических знаний.

Рекомендуем учащимся по ходу вычислений не забывать о приемах устного счета:

Пример № 376

На втором шаге преобразования выражения мы использовали основное свойство дроби, помножив сначала числитель и знаменатель на 10 и затем разделив их на 9, а затем воспользовались калькулятором.

Здесь же целесообразно использовать калькулятор как средство самоконтроля: сначала получить ответ, упрощая выражение, а затем провести непосредственно вычисления на калькуляторе.

Пример № 394

Пример № 435

7. Полезны задания на вычисления по формулам. Приведем пример.

Объем конуса V вычисляется по формуле

.

Выразите из этой формулы радиус основания и вычислите его значение при V = 59 см3, H = 9 см.

Решение:

Получим формулу

.

При данных значениях V и H найдем значение R:

Обратим внимание на ввод числа π на калькуляторе. Для этого предусмотрена специальная команда, задаваемая последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [EXP] (над этой клавишей помещена надпись желтым шрифтом - π). На экран так и будет выведен символ π, а не равное ему число. Однако чтобы калькулятор не "путал" его с обычными символами, знаки арифметических действий при нем пропускать нельзя.

С этой же целью можно предложить учащимся при выполнении заданий типа №№ 340, 342, 400, 442 не ограничиваться получением новой формулы, а посчитать по формуле, придавая переменным допустимые значения.