(906)764-3094ПН-СБ с 10:00 до 18:00
We speak English

2.3. Квадратные уравнения

1. Решение практико-ориентированных задач, предлагаемых в учебнике, рекомендуется, как и ранее, доводить до числового ответа в виде десятичной дроби и записывать его округленное значение. Приведем пример.

Пример № 518

В упражнении требуется найти радиус круга, площадь которого равна 1 дм2. В разделе ответов приводится число дм. Выразим ответ в сантиметрах.

Возможны два варианта решения. Можно взять полученный ответ в дм, вычислить его, подставив вместо π его значение, и умножить ответ на 10 (1 дм = 10 см). Другой способ - подставить в начальную формулу 100 см2 вместо 1 дм2 и численно решить уравнение πR2=100.

Приведем оба решения на графическом калькуляторе:

Напомним, что перемещение по шаблонам дроби и квадратного корня, а также выход за границы шаблонов осуществляется с помощью клавиши [REPLAY], используемой для перемещения курсора.

Ответ: радиус круга примерно равен 5,6 см.

2. Для поддержания умения проверять правильность нахождения корней при решении уравнения (и навыков вычисления с графическим калькулятором) советуем завершить несколько упражнений из учебника подстановкой корней.

Пример № 534

е) Решив уравнение 4х2+х-33 = 0, получим два корня: -3 и 2,75. Подставив вместо х число -3, получим 4· 9-3-33, т.е. 0.

Используя графический калькулятор, найдем:

Следовательно, уравнение решено верно.

Пример № 536

д) Решив уравнение 2у2-у-5 = 0, получим два корня: 

.

Подставим сначала одно, потом другое значение корня в левую часть уравнения:

В данном примере мы использовали команду присваивания (➝), присвоив переменной Y (для ввода символа Y надо использовать клавиши [SHIFT] и [-], в принципе, использовать в качестве переменной Х удобнее) сначала значение первого корня. Затем нажали [EXE], и калькулятор вычислил корень. Потом мы набрали выражение 2у2-у-5 и снова нажали [EXE]. Калькулятор вычислил значение выражения и вывел в правой части следующей строки 0. Затем с помощью клавиши [REPLAY] мы переместили курсор в первую строчку и заменили в ней знак "-" на знак "+". После нажатия [EXE] калькулятор повторно вычислил оба выражения. Первое число (значение корня) изменилось, второе (значение выражения 2у2-у-5) так и осталось равным нулю. Следовательно, корни найдены верно.

Пример № 544

б) Имеем уравнение (3x-1)(x+3)=x(1+6x).

Выполнив преобразования, получим квадратное уравнение 3x2-7x+3=0.

Его корни: .

Значение каждого корня подставим в левую и правую части исходного уравнения и сравним их значения.

Поскольку все строки не поместились на экране одновременно, приведены две копии экрана: с первой и последней строкой вычислений.

Следовательно, корни найдены верно.

3. Советуем решение некоторых задач, предлагаемых в учебнике, проиллюстрировать, используя графические возможности калькулятора.

Так, например, в учебном тексте рассмотрена задача (с. 119):

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

В решении этой задачи использована формула из курса физики:

Построим график зависимости h от t:

  • введем в режиме построения графиков данную формулу для указанных в учебнике значений g=10 (м/с2), v0=40 (м/с), а также заменяя h на у, а t на х;

  • зададим окно вывода:

Сделать это для данной задачи относительно непросто. Для стандартного окна может показаться, что график вообще не был построен или, что он лежит в совсем другой области. "Подвигав" окно с помощью клавиши [REPLAY], можно убедиться, что график есть, но он очень резко возрастает и достигает гораздо больших значений, чем позволяет увидеть стандартное окно вывода:

Поэтому размер окна и масштаб придется менять. Учитель может указать рекомендуемые параметры окна, чтобы не тратить на их подбор слишком много времени. Иначе придется увеличить параметры, например, до 100, получить график целиком, но в неудобном для исследования виде, и затем уже взять подходящие параметры.

  • построим график и исследуем его в режиме Trace:

В задаче требуется определить, через какое время тело будет находиться на высоте 60 метров. Говоря иначе: при каком значении х значение у равно 60.

В режиме G-Solv (функция X-CAL) можно найти х по значению у. Но, впрочем, для данного окна вывода курсор точно попал в точки х=6, у=60 и х=2, y=60 в режиме Trace.

Надо обратить внимание учащихся на то, что данные точки лежат на пересечении графиков функций у=40х-5х2 и у=60.

Напомним, что находить точки пересечения графиков в калькуляторе помогает функция ISTC ([F5]) в режиме G-Solv.

4. Изучению графического способа решения уравнений существенно помогает применение калькуляторов.

Первым в учебнике рассматривается уравнение (стр. 132-133)

Решить уравнение 3-й степени, получающееся в результате преобразования данного выражения, учащиеся пока не умеют. Но обе части равенства заданы знакомыми учащимся функциями, и с помощью построения их графиков можно определить приближенные значения абсцисс точек пересечения графиков, то есть корней данного уравнения:

Замечаем, что графики пересекаются в одной точке. Найдем ее абсциссу: х ≈ 1,8.

Пример № 708

в) Решим графически уравнение x3-х+4=0. Для этого запишем уравнение в виде x3=х-4 и построим в одной системе координат графики функций y=x3, y=х-4.

5. Сильным учащимся можно предложить графическое исследование уравнения: имеет ли данное уравнение корни? Если имеет, то сколько?

Рассмотрим, например, уравнение x3-1,2x+0,5=0.

Построив графики, найдем три решения данного уравнения.

Было найдено три решения, хотя по графикам это и не вполне очевидно: в промежутке [0,5; 0,7] графики почти сливаются. Но можно изменить масштаб и исследовать эту часть графиков подробнее. Воспользуемся для этого в режиме Zoom ([SHIFT] и [F2]) функцией ВОХ ([F1]). Напомним, что при этом надо переместить курсор в один из углов выделяемого прямоугольника экрана, нажать [ЕХЕ], перевести курсор в противоположный угол выделяемой области и нажать [ЕХЕ] еще раз.

Картина так до конца и не прояснилась. Повторим операцию:

Теперь между графиками можно разглядеть расхождение и пересечения.

При желании можно еще раз изменить масштаб или исследовать точки пересечения графиков по отдельности.

Рекомендуем предложить учащимся исследовать уравнение

.

Определить графически, сколько корней имеет это уравнение, и для каждого корня указать два целых числа, между которыми он находится.

Ответ: три корня: х1 ∈ (-2; -1), х2 ∈ (-1; 0), х3 ∈ (2; 3).