2.4. Неравенства

1. Уделим внимание самоконтролю при решении неравенств (и их систем) с одной переменной. Это направление связано с возможностью проверить решение на правдоподобие путем простейшей подстановки, выполняемой устно. Однако сопутствующие вычисления не оказываются простыми, когда потребуется выполнить действия с отрицательными числами, с десятичными дробями. Приведем пример упражнения при использовании на уроке графического калькулятора.

Пример № 879

а) Решите неравенство 0,01(1-3х) > 0,02х+3,01.

Решение.

Умножим обе части неравенства на 100: 1-3х > 2х+301;

выполним перенос слагаемых и приведем подобные члены: -5х>300;

разделим обе части неравенства на -5: х<-60.

Ответ: х ∈ (-∞; -60).

Имеет смысл проверить, не ошибся ли учащийся в преобразовании неравенства. Для этого достаточно подставить в левую и правую части исходного неравенства любое значение х из числового промежутка (-∞; -60), например, х = -61.

В данном примере использована команда присваивания, хотя можно было сразу подставить -61 вместо х в оба выражения. Использование команды присваивания позволяет быстро изменить значение х и пересчитать для него значения обеих частей неравенства.

Значение левой части неравенства равно 1,84, правой части равно 1,79.

1,84 > 1,79, то есть число -61 удовлетворяет данному неравенству. Отсюда можно сделать вывод, что учащийся не ошибся, например, на последнем шаге решения, что, к сожалению, довольно часто встречается в практике решения неравенств.

Завершить демонстрацию можно проверкой неверного решения: х > -60, т.е. выполнить подстановку любого числа из промежутка (-60; +∞).

2. Советуем уделить внимание упражнениям, где требуется определить промежутки, в которых заданная функция принимает положительные (или отрицательные) значения (№№ 806-807, 888). А также не оставлять без внимания дополнительные задания из раздела "Дополнительные упражнения к главе 4", где надо определить значения х, при которых значения функции принадлежат данному промежутку (№ 898).

Понятно, что выполнять подобные задания можно как алгебраически, так и графически. Такой подход способствует формированию навыков чтения графиков функций. Число упражнений может быть увеличено, т.к. графический калькулятор снимет технические трудности, связанные с построением графиков.

Пример № 806

Функция задана формулой у=-1,5х+7,5. При каких значениях х:
а) у = 0; б) у > 0; в) у < 0?

Решив алгебраически соответствующие неравенства, сделаем вывод:
а) у = 0 при х = 5; б) у > 0 при х < 5; в) у < 0 при х > 5.

Теперь предложим учащимся построить график заданной функции:

Отметим, что окно вывода можно задать и стандартное, а потом сдвинуть его, нажав несколько раз клавишу [REPLAY] вправо.

Рассмотрев график, приходим к тому же выводу.

Пример № 898

г) При каких значениях х значения функции у=-2,5х+6 принадлежат промежутку [-6; -2]?

При построении этого графика мы первоначально использовали стандартное окно вывода. Однако при равном масштабе по осям координат исследовать этот график неудобно. Чтобы график лучше "располагался в окне", изменим масштаб по у в десять раз. Масштаб же по оси х сохраним стандартным (при нем шаг курсора по оси х равен 0,1, что удобно для исследования графика). График "прижмется" к оси х, но исследовать его в режиме Trace станет легче.

Присутствие на уроке графического калькулятора позволяет активно создавать графические образы, что, бесспорно, содействует развитию графического мышления учащихся. Для дополнительных упражнений рекомендуем некоторые упражнения из учебника переформулировать. Приведем пример.

Пример № 789

е) Решив неравенство 0,2х-2 < 7-0,8х, получим х < 9; то есть множество решений данного неравенства представляет собой промежуток (-∞; 9).

Предложим учащимся переформулировать задание.

Например, так: При каких значениях х значения функции у=0,2х-2 меньше значений функции у=7-0,8х?

Или так: Решите графически неравенство 0,2х-2 < 7-0,8х.

Теперь, построив два графика: у=0,2х-2 и у=7-0,8х в одной и той же координатной плоскости, сделаем соответствующие выводы.

При построении графиков используем стандартное окно вывода, а затем несколько раз (4 раза) сдвинем его вправо с помощью клавиши [REPLAY]. Изменившиеся при этом значения параметров окна вывода приведены на картинке.

Исследование графиков можно провести как в режиме Trace, так и режиме G-Solv (ISCT). При данном масштабе точные координаты точки пересечения можно найти в любом из этих режимов.

Пример № 805

в) При решении неравенства 3х+7 > 5(х+2)-(2х+1) в результате его преобразования придем к неравенству 7>9, но 7<9, значит, неравенство не имеет решений.

Этот факт подтверждается иллюстрацией:

графики функций у=3х+7 и у=5(х+2)-(2х+1), построенные на одной и той же координатной плоскости, параллельны.

При построении графиков воспользуемся сначала стандартным окном вывода:

График расположен не очень удачно. Изменим масштаб по оси у, например, в 4 раза:

Графики кажутся параллельными, но лучше это проверить. Исследуем графики в режиме Trace. Посмотрим, на сколько различаются значения функций при одном и том же значении аргумента. Напомним, что для переноса курсора с одного графика на другой достаточно нажать клавишу [REPLAY] вверх или вниз, а для перемещения по графику - вправо или влево.

Как видно из рисунков, значения функций при равных значениях аргументов всегда различаются на 2.