(495)240-8280ПН-СБ с 10:00 до 18:00
We speak English

2.5. Степень с целым показателем

1. Калькулятор позволяет достаточно быстро вычислять значения степенных выражений, но в начале изучения темы это методически оправданнотолько тогда, когда требуется проверить, проанализировать результаты вычислений.

Познакомим учащихся с приемом вычисления степеней с целым показателем и покажем несколько примеров применения новых навыков.

Графический калькулятор позволяет вычислять значения степеней с отрицательными показателями по тем же правилам, что и с натуральными. Для задания показателя степени используется клавиша [^], после нажатия которой курсор переводится в верхний регистр.

Покажем на примере вычисления значения степени 5-2 всю последовательность действий по вводу данного выражения. Рассмотрим случай, когда калькулятор находится в режиме вычислений (режим RUN-MAT главного меню).

Сначала вводится число 5 (нажатием клавиши [5]). Затем, нажатием клавиши [^], курсор переводится в положение, в котором можно вводить показатель степени:

Теперь надо набрать -2. Выражение будет введено. Курсор останется в "верхнем регистре", после показателя степени. В данном случае его положение несущественно, так как ввод выражения закончен. Если же надо продолжить набор выражения, то, напомним, что вывод курсора из положения ввода показателя степени осуществляется простым нажатием клавиши [REPLAY] вправо:

Для вычисления значения данного выражения (курсор находится в любом месте строки с данным выражением) достаточно нажать клавишу [EXE]. Нажатие после этого клавиши [F↔D] позволяет переводить результат из десятичной дроби в обыкновенную дробь и обратно:

Использование свойств степени с целым показателем позволяет преобразовывать выражения, упрощать их для вычисления числового значения. Верно ли выполнено такое преобразование? Проверим с помощью калькулятора, вычислив значение исходного выражения и сравнив результат с полученным после его преобразования.

Пример № 934

з) Преобразовав данное в упражнении выражение

,

придем к выражению 56. Вычислив значение 56, получим 15625.

А теперь найдем значение данного выражения

с помощью графического калькулятора.

Переходим в режим вычислений. Поскольку вводимое выражение - дробь, то с самого начала надо задать ее шаблон, нажав клавишу [ab/c]. Курсор при этом появится в числителе шаблона. Набираем 5 и, как в предыдущем примере, задаем шаблон степени, нажав [^].

После ввода показателя степени курсор так и останется внутри шаблона. Чтобы вывести его оттуда, надо нажать клавишу [REPLAY] вправо. Перевод курсора в шаблон знаменателя осуществляется также с помощью клавиши [REPLAY]. Об этом рекомендуется напомнить учащимся: данная клавиша часто используется при вводе выражений. Кроме того, следует обратить внимание учащихся на то, что при записи произведения степеней между ними надо ставить знак умножения:

Пример № 941

а) Упростив данное в упражнении выражение 1,6х-1у125х3у-11, придем к выражению 8х2у. Найдем его значение при х = -0,2, у = 0,7.

Получим число 0,224.

Проверим ответ подстановкой данных значений переменных в исходное выражение:

2. Советуем предложить учащимся выполнить следующее упражнение.

1) Заполните таблицу:

Пусть сначала учащиеся заполнят вторую строку таблицы. Затем они начнут выполнять подсчеты, необходимые для заполнения третьей строки:

Возможно, кто-нибудь догадается, что третью строку таблицы можно заполнить, используя результаты, помещенные во второй.

2) Рассмотрев заполненную таблицу, обратим внимание на то, что

3) Рассмотрим с помощью калькулятора значения

и покажем, что для противоположных значений х значения у совпадают.

Как видно из построенной таблицы (на рисунках она показана по частям), значения функций совпадают при противоположных по знаку значениях аргументов.

На усмотрение учителя: можно продемонстрировать учащимся и графики данных функций. Для этого после построения таблицы надо нажать [F6] (G-PLT). Предварительно рекомендуется изменить параметры окна вывода. Графики (точнее, точки на координатной плоскости) удобно исследовать в режиме Trace. При этом курсор будет "перепрыгивать" с точки на точку, в верхней строке будет указываться формула, а в нижней - значения аргумента и функции.

3. Прикладным следствием теоретического материала является возможность представления чисел в стандартной форме. При изучении материала о представлении числа в стандартном виде рекомендуется ознакомить учащихся с соответствующим режимом работы графического калькулятора.

Включение режима представления чисел в стандартном виде осуществляется через меню установок (вход в него - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [MENU], т.е. SET UP). Соответствующая строчка Display не помещается на выводим вначале экране, так как является последней в списке, так что удобнее перейти на нее одним нажатием клавиши [REPLAY] вверх. Стандартное значение этого параметра Norm1. Это означает, что числа представляются в обычном виде, а к стандартному переводятся только очень большие (больше 1010) или очень маленькие (меньше 0,01) числа.

Для того, чтобы числа выводились в стандартном виде, надо задать параметру Display значение Sci (от английского "scientific" - научный, принятая в научных работах форма). Для этого надо нажать функциональную клавишу [F2] (текущее значение - Sci). Появится запрос - введите число (от одного до девяти). Это - требование ввести число цифр, которые должны выводиться на экран. Например, зададим 3. Это число и будет указано в меню установок:

Возвращение из меню установок в режим вычислений осуществляется нажатием клавиши [EXIT].

Введем несколько чисел:

Обратим внимание, что вместо 10 в соответствующей степени в калькуляторе выводится буква Е, вслед за которой указывается значение показателя степени. Эта форма принята в компьютерной форме записи и, по большому счету, мало отличается от стандартной математической.

Число 888 содержало ровно 3 цифры, его так и представили в виде 8.88Е+02. В числе 88 цифр только две, и при выводе их дополнили нулем: 8.80Е+01. В числе 8888 цифр 4. При выводе значение было округлено до трех цифр. Получилось 8.89Е+03.

На усмотрение учителя число цифр в режиме Sci может быть увеличено до 4 или 5. Дальнейшее увеличение представляется излишним (хотя возможно и до 9), так как чрезмерно загромоздит запись и сделает ее менее наглядной.

Приведем еще несколько примеров представления числа в стандартном виде:

На калькуляторе возможен и ввод чисел в стандартной форме. При этом он почти не отличается от ввода обычного выражения. Для ввода степени приходится использовать последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [log] (то есть 10х). Отметим, что знак умножения между числом и степенью десяти вводить не нужно. При выводе калькулятор заменит 10 на Е:

Упражнения на расчет значения показателя степени, например при переводе значения физической величины из тонн в граммы (№№ 959-960), учащимся лучше делать самостоятельно. Калькулятор здесь может использоваться только как инструмент самоконтроля:

Пример № 967

Найдем массу плиты при указанных в задаче данных, т.е. вычислим произведение плотности железа на объем плиты:

При вводе выражения в калькулятор скобки можно опустить:

Формула чуть-чуть не вместилась в экран: на это указывает знак в конце строки. Количество выводимых знаков в режиме Sci (научном) было задано равным 4.

4. Изучение действий с приближенными значениями не предусмотрено действующей программой. Но все же рекомендуется привлечь внимание учащихся к двум вопросам, немаловажным с практической точки зрения. Это, во-первых, прикидка результата вычисления, и, во-вторых, использование правил вычисления с приближенными значениями величин в упрощенном варианте.

1) Желательно учить ребят получать как можно больше информации об ожидаемом результате. Этому, в частности, помогает такое умение, как прикидка ответа. Приближенные прикидки проводят чаще всего с точностью до 1-2 верных цифр, а порой даже лишь до порядка величины.

Покажем некоторые простые правила округлений, которые рекомендуется применять при прикидках.

  • Если при подсчете произведения один из множителей округляется в большую сторону, то второй желательно округлить в меньшую сторону, чтобы по возможности компенсировать первое округление.

Например, 3,5 · 2,5 надо округлять так 4 · 2 = 8 или так 3 · 3 = 9, но не так 3 · 2 = 6 и не так 4 · 3 = 12. Заметим, что точное значение произведения равно 8,75. Аналогичное правило действует при сложении.

  • При вычитании и делении округление желательно производить в одну сторону.

Систематическое применение подобных прикидок способствует воспитанию интуиции в оценке величин. Эта интуиция помогает отбросить малозначащие факторы, заметить ошибки, предвидеть результат.

Рекомендуем упражнение: вычислим с помощью калькулятора значение выражения с точностью до 10-3:

Первоначально рекомендуется установить следующие параметры вывода калькулятором результатов (вход в режим установок - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [MENU] (SET UP)):

Для перевода результата из обычной дроби в десятичную дробь использовалась клавиша [F↔D].

2) Для приближенных вычислений имеются соответствующие правила. Опыт показывает, что они практически не используются на уроках алгебры. И все же посоветуем учащимся принять во внимание следующее.

  • Если в вычислении встречаются только действия сложения и вычитания, то ответ округляется с точностью, которую имеет наименее точное данное, например:
    8,047 + 0,0735 - 5,7941 + 11,82 = 14,1464 ≈ 14,15
    (прикидка: 8+0-6+12=14).
  • Если в вычислении встречается только умножение и деление, то в ответе записывается столько верных цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных цифр, например:
    73,5 : 14,51 · 3,91002 = 19,8067... ≈ 19,8
    (прикидка: 74 : 14 · 4 ≈ 20).

Определенную трудность представляют вычисления, в которых производятся совместные арифметические действия. Рекомендуется выполнять каждое действие отдельно, округляя результаты по предыдущим правилам, но оставляя запасную цифру.

Например, вычислим значение выражения 43,78(26,735-14,9):

Данные числа являются приближенными, поэтому мы вынуждены будем округлить результат с точностью до трех значащих цифр. Ответ: ≈ 518.

Теперь обратимся к упражнениям пп. 37 и 38.

Пример № 1006

Наблюдатель услышал гром через 4,7 с после того, как увидел вспышку молнии. На каком расстоянии от наблюдателя произошел разряд (скорость звука в воздухе приближенно равна 332 м/с)?

Решение.

Скорей всего наблюдатель прикинет устно: 332 · 4,7 ≈ 300 · 5 = 1500 (м), то есть 1,5 км.

Вычисляя с калькулятором, получим:

Оставив в результате две верные цифры, запишем: 1,6 км.

Пример № 1025

Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить пол в двух комнатах, размеры которых 5,5x4,3 м и 5,2x4,6 м. На 1м2 пола расходуется 0,17 кг краски.

Решение.

Прикидкой получим: (6 · 4 + 5 · 5) · 0,2 ≈ 10 (кг).

При вычислении с калькулятором обратим внимание на множитель 0,17 и в результате оставим две верные цифры: (5,5 · 4,3+5,2 · 4,6) · 0,17 ≈ 8,1 кг.

3) Отметим, что в учебном тексте (учебник, стр. 193-196) подробно рассмотрены правила действия с приближенными значениями. Приближенные вычисления в калькуляторе в режиме Sci (научном режиме) как раз и осуществляются до заранее определенного числа знаков. В зависимости от целей рассмотрения того или иного примера это число знаков может быть:

  • Равно минимальному числу значащих цифр у используемых в выражении величин. В этом случае калькулятор сразу даст правильный ответ.
  • Больше или равно максимальному числу значащих цифр у используемых в выражении величин. В этом случае калькулятор покажет в результате большее число значащих цифр, чем нужно. Округлить ответ до правильного учащимся потребуется самостоятельно.

Приведем несколько примеров. Пусть требуется вычислить выражения с точностью до трех знаков:

В этих примерах калькулятор сам произвел округление.

В этих примерах надо округлить значения результата до 3-х значащих цифр, то есть 1.4350Е+03 округлить до 1.44Е+03, а 2.6270Е+03 - до 2.63Е+03. Сделать это можно и с помощью калькулятора, поменяв настройку и повторив вычисления (переместив для этого курсор в строку с первым выражением и нажав [EXE]):