3.1. Квадратичная функция

1. Первые уроки по этой теме посвящены повторению понятий функции, аргумента, области определения функции, графика функции. Далее вводятся понятия нулей функции и промежутков, в которых функция принимает положительные или отрицательные значения, даются понятия о возрастающей и убывающей функциях. Использование графического калькулятора делает изучение данных вопросов наглядным и разнообразным. Калькулятор позволяет построить большее число графиков и исследовать их свойства. У учащихся закрепляются графические образы изученных функций и развиваются навыки чтения графиков функций.

Разбор примеров, приведенных в п.п. 1-2 учебника, целесообразно сопровождать графиками, выполненными с использованием калькуляторов. Это позволит совместить повторение учебного материала с восстановлением у учащихся навыков построения и исследования графиков на калькуляторах.

Если учитель считает, что учащиеся уже достаточно уверенно обращаются с графическим калькулятором, то рассматриваемый ниже блок вопросов можно ограничить.

Построим график функции f(x)=2x²-6 (эта формула рассматривается в учебнике на стр. 3).

Разбирая данный пример, рекомендуется напомнить учащимся о некоторых особенностях построения графика на калькуляторе. Прежде всего то, что запись функции всегда осуществляется в виде:

Y_N=<выражение>.

Индекс N указывает на номер функции в списке:

После задания графическому калькулятору команды "Построить график" - [F6] (DRAW) - будут построены те графики, в записи которых знак равенства выделен цветом. Напомним, что снятие выделения или его нанесение осуществляется с помощью команды SEL ([F1]).

Вид линии, которой будет построен график, задается командой STYL ([F4]).

Особое внимание следует обратить на задание "окна вывода", то есть границ той области координатной плоскости, которая будет выведена на экран. В этой области и должен находиться график функции, точнее, та его часть, которая нужна для проведения необходимых исследований.

Напомним, что переход к заданию параметров окна вывода осуществляется последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [F3] (V-Window). По умолчанию предусмотрено следующее значение параметров:

Восстановление этих значений может быть осуществлено нажатием (естественно, в данном режиме) клавиши [F1] (INIT). Выход из режима - клавиша [EXIT].

Стандартные параметры удобны тем, что с учетом размера экрана (127 на 63 точки) масштаб по осям х и у будет одинаков, а смещение курсора на одну точку по любой из осей эквивалентно изменению значения соответствующей координаты курсора на 0,1.

Однако для данного графика такое задание "окна вывода" не будет удачным. Построив график (клавиша [F6] - DRAW), убедимся в этом:

Нижняя часть параболы не поместилась в окне. С помощью клавиши [REPLAY] можно "сместить" окно на нижнюю часть графика:

Снова получилось не слишком удачно: на экране не поместилась ось абсцисс, что делает график менее наглядным и не позволяет определить точки пересечения с осью x.

Можно предложить учащимся уменьшить масштаб графика в два раза. Для этого надо снова войти в режим V-Window, восстановить начальные параметры и вдвое увеличить их значение:

Построенный теперь график уже лучше разместится на экране:

Но и такое построение графика можно улучшить, то есть сделать график более наглядным.

Во-первых, вовсе не обязательно размещать точку пересечения осей координат в центре экрана. В данном случае вполне можно сократить часть параболы, расположенную выше оси х: ничего принципиально нового мы там не найдем, значение функции "уходит" в бесконечность, до которой нам все равно "не дотянуться".

Во-вторых, ограниченные размеры дисплея не позволяют сделать 'окно" слишком большим. Причем, размеры по оси х в два раза превосходят размеры экрана но оси у. Поэтому не всегда есть смысл использовать одинаковые масштабы по осям х и у. В рассматриваемом примере масштаб по осям х и у примерно одинаков, но график занимает лишь небольшую площадь экрана около оси у. Увеличить масштаб по оси у уже затруднительно, а вот по оси х - вполне возможно. График несколько изменит форму:

Масштаб, в котором построен график, виден по "черточкам" на осях координат. Расстояние между соседними "черточками" равно 1. "Черточки" по оси у расположены ближе друг к другу, чем по оси х, но исследовать график в таком масштабе вполне удобно. В режиме Trace ([SHIFT] и [F1]) значения х и у выводятся в нижней строке экрана, иногда частично заслоняя график. Однако в данном случае график уже достаточно нагляден, и менять окно вывода уже нет смысла:

Рекомендуем также повторить с учащимися исследование графика в режиме G-Solv (вход в режим - последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F5]). В данном режиме предусмотрено много возможностей, и продолжение просмотра меню функциональных клавиш осуществляется нажатием клавиши [F6] (текущее значение ):

С некоторыми из команд, задаваемыми функциональными клавишами в данном режиме, учащиеся уже знакомы. Напомним их:

ROOT позволяет найти координаты точек пересечения графика функции с осью х (перевод курсора с одного корня на другой осуществляется с помощью клавиши [REPLAY]):

MAX и MIN - найти, соответственно, максимальное и минимальное значение функции. С этими командами учащиеся ранее не знакомились, но интуитивно они понятны. Использование их - на усмотрение учителя. В данном случае найти максимальное значение функции невозможно, оно равно бесконечности, а вот минимальное равно -6:

Обратим также внимание на то, что выполняемая команда фиксируется калькулятором в нижней правой части экрана. Это относится ко всем командам данного меню.

ISCT используется при одновременном выводе графиков двух функций для определения точек их пересечения.

Y-CAL и X-CAL позволяют найти координату точки графика по заданному значению другой координаты. Например, Для Y-CAL:

Остальные команды данного меню пока не рассматриваются.

Теперь мы можем получить достаточно полную информацию при исследовании функции. Предложим учащимся выполнить упражнение Пример № 18 из п.1 учебника. Советуем сначала выполнить задание в тетради, не обращаясь к калькулятору, а затем - с калькулятором.

Пример № 18

Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой

y=x³ - 8x, где -3 ≤x ≤ 3.

Решение.

Составим в тетради таблицу:

По найденным координатам точек, принадлежащих графику данной функции, построим график в тетради.

Отметим, что областью значений функции служит промежуток [-8; 8].

Это наблюдение поможет при работе с калькулятором выбрать удобное окно вывода.

Сохраним стандартное значение параметров для х, а вот по оси у несколько "сплющим" график:

Построив график с помощью калькулятора, предложим учащимся "шагать" по нему (в режиме Trace), отмечая координаты некоторых характерных точек: пересечение графика с осями координат, точки, в которых функция принимает, соответственно, наибольшее и наименьшее значения. Затем в режиме G-Solv можно определить координаты этих точек с более высокой точностью.

В режиме Trace:

В режиме G-Solv (команда ROOT, MIN или MAX указана в правой нижней части экрана):

Выполняя команды MIN и MAX, калькулятор указывает так называемые "локальные экстремумы". Ни -∞ , ни +∞ в качестве решения задачи он не предлагает.

2. Одновременно с освоением новых функций будут расширяться и знания школьников о возможностях калькулятора. В современном калькуляторе предусмотрены все функции, рассматриваемые в рамках программы средней школы, но не все они могут быть введены уже знакомым способом, некоторые из них придется вводить через меню функциональных клавиш. Примером такой функции является функция y=|x|, записываемая в калькуляторе (равно как и в большинстве языков программирования) в виде Abs x.

Перед построением графика этой функции можно либо продолжить список уже рассмотренных функций, либо очистить его. Напомним, что для удаления функции из списка надо выделить ее цветом с помощью клавиши [REPLAY] и выбрать команду DEL (клавиша [F2]). На экране появится вопрос:

Нажатие клавиши [F1] приведет к удалению выделенной функции из списка. При замене одной функции на другую достаточно выделить соответствующую строку и начать ввод новой формулы. Она автоматически заменит старую. При редактировании - выделить строку и, нажав на клавишу [REPLAY] (вправо), вызвать появление в этой строке курсора. Отметим, что значения функциональных клавиш при этом изменятся (см. рис. выше).

Функция y= |x| входит в число стандартных функций, предусмотренных в калькуляторе. Но, во-первых, она записывается несколько в иной форме (Abs x, от слов "абсолютная величина"). Во-вторых, она не выведена в качестве значения какой-либо клавиши. Вводить ее придется через меню.

Для ввода функций через меню следует нажать клавишу [OPTN]. Меню функциональных клавиш примет вид:

Отметим, что вид списка функций при этом не изменится. Теперь надо перейти в подменю NUM, нажав клавишу [F5] (NUM):

Значения функциональных клавиш снова изменятся. Среди них появится Abs ([F1]). Теперь нажатие [F1] (Abs) приведет к появлению имени этой функции в строке, в которую вводится функция. В качестве ее аргумента в данном случае надо ввести х, нажав соответствующую клавишу на клавиатуре. Затем нажать [ЕХЕ], и ввод функции будет завершен:

Зададим окно вывода (то есть масштаб) так, как это сделано на рисунке 5 в учебнике алгебры. Построим график:

Исследование функции можно провести по стандартной схеме, используя режимы Trace и G-Solv.

3. В качестве примеров сложных графиков можно предложить графики многочленов третьей и четвертой степени (подобные рисунки рассматриваются в учебнике).

Например, графики функций:

y = x³ + 2x² - x - 2

y = 2x⁴ + 2x³ - 3x² - 2x + 0,5.

Отметим, что в данном режиме работы калькулятора невозможна запись высоких степеней функций в стандартной математической форме. Приходится использовать линейную запись: X^3, X^4.

Для первой из этих функций график имеет вид:

Для второй функции (полностью строка записи формулы функции не поместилась на экране) график имеет вид:

При рассмотрении графиков в режиме Trace обратим внимание учащихся на области, в которых функции возрастают (или убывают). Иначе говоря, выясним, как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения данной функции с увеличением значений аргумента.

4. Использование графических калькуляторов существенно упрощает освоение учащимися материала, посвященного квадратичной функции и ее графику. А создание наглядных образов способствует пониманию простейших преобразований графиков квадратичных функций: растяжение от оси х и сжатие к оси х, осевая симметрия относительно оси х, параллельные переносы вдоль координатных осей. Эти преобразования применимы к любым функциям, и их усвоение позволит применять полученные представления к другим функциям, изучаемым в курсе.

Согласно логике изложения материала в учебнике основное внимание учащихся сосредоточено на анализе графиков функций при их рассмотрении в следующей последовательности:

y=ax²,

y=ax²+n,

y=a(x-m)²,

y=a(x-m)²+n,

y=ax²+bx+c.

1) Предлагаем на завершающем этапе исследования функции вида y=ax² построить и сравнить графики следующих функций (для стандартного окна вывода):

В режиме Trace несложно убедиться, что:

• Все эти графики - параболы, вершины которых находятся в точке (0; 0);
• С увеличением значения |a| ветви параболы приближаются к оси у, т.е. происходит растяжение графика от оси х, а с уменьшением значения |a|, наоборот, происходит сжатие графика к оси х;
• Графики симметричны относительно оси у;
• Графики функций y=ax² и y=-ax² симметричны друг другу относительно оси х.

Отметим, что в калькуляторе предусмотрен еще один способ сравнения графиков. Делается это в режиме "динамичных" графиков, вход в который осуществляется из главного меню (пиктограмма DYNA). В принципе, никаких новых исследований с графиками в данном режиме получить нельзя, только чуть повысится наглядность за счет "красивой картинки". Но показать этот режим сильным учащимся, которые не потратят много времени на его освоение, имеет смысл.

На экране возникает меню - список функций, аналогичный стандартному режиму построения графиков. Однако в верхней строчке будет указано, что функция - динамическая. Помимо чисел и аргумента х в записи функции надо указать дополнительный буквенный параметр (любую букву), например, А:

Через меню функциональных клавиш надо войти в подменю описания параметров, нажав [F4] (значение VAR - от английского слова "variable" - переменная). Появится новое меню:

Теперь надо выбрать режим вывода динамического графика, нажав [F3] (SPEED - от английского слова "скорость") и войдя в соответствующее подменю. Появится таблица описания скоростных режимов. Рекомендуется выбрать [F1].

В этом режиме смена графиков будет осуществляться только после нажатия клавиши [EXE], в остальных случаях - автоматически, с большей или меньшей скоростью.

Возврат к предыдущему подменю - клавиша [EXIT].

Теперь надо войти в режим задания границ и шага изменения параметра А. Для этого надо нажать [F2] (SET - "установка"). Появится таблица, в которой с помощью клавиши [REPLAY] надо по очереди выделить каждую строку со значением параметра, заменить его на желаемое значение и нажать [EXE].

В данном случае были установлены параметры: начать с А=0,5 и изменять его с шагом 0,1 до значения 2.

Выход из режима - клавиша [EXIT].

Параметры заданы; для начала построения графиков надо нажать клавишу [F6] (DYNA).

и так далее. Каждый новый график выводится после нажатия клавиши [EXE]. После того, как будет достигнуто максимальное значение параметра, он начнет с тем же шагом уменьшаться, пока не дойдет до минимального. Выход из режима в меню - клавиша [EXIT] или [AC/^ON]. При этом калькулятор сначала войдет в режим SPEED (задания режима вывода графика). Выход к меню более высоких уровней осуществляется с помощью клавиши [EXIT].

2) Построим графики функций вида y=ax²+n (в обычном режиме построения графиков) для стандартных параметров окна ([F1] - INIT в меню V-Window):

Графики функций можно исследовать в режиме Trace ([SHIFT] и [F1]) и убедиться, что они представляют собой одинаковые кривые (равные параболы), сдвинутые одна относительно другой по оси у. Практически получается, что график y=ax²+n - это график y=ax², сдвинутый по оси у на n единиц.

По усмотрению учителя можно сделать то же самое в режиме динамических графиков.

3) Построение графиков функций вида y=a(x-m)² и их исследование аналогичны предыдущему примеру. Единственная, рекомендация: стоит немного сместить окно, чтобы графики занимали в нем большую часть. Сделать это возможно и после вывода графиков в стандартном окне с помощью клавиши [REPLAY].

Вывод аналогичен предыдущему. График y=a(x-m)² - это график y=ax², сдвинутый, но уже по оси х, на m единиц, если m > 0, и на -m единиц, если m < 0.

4) Пример построения и исследования графиков функций вида y=a(x-m)²+n призван помочь учащимся на основании ранее полученного опыта при рассмотрении частных случаев сделать вывод об общем случае. Действия и исследования аналогичны предыдущим примерам.

Общий вывод: график y=a(x-m)²+n - это парабола, которую можно получить из графика функции y=ax² с помощью двух параллельных сдвигов.

Рекомендуем проиллюстрировать с помощью калькулятора решение упражнений №№ 87-89, 94.

5) Построение и исследование графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с помощью калькулятора можно рассмотреть на примере графика функции у=3х²-24х+21.

Найдем точки пересечения графика с осью х, а также минимальное значение функции.

Исследование графика показывает, что парабола обращена "ветвями" вверх, пересекает ось х в точках 1 и 7. При х < 1 и при х > 7 функция имеет положительные значения, а на интервале 1 < х < 7 функция отрицательна, достигает минимума при х = 4. Обратим внимание учащихся на то, что график функции симметричен относительно прямой, параллельной оси у и проходящей через точку (4; 0).

Теперь построим график функции у=3(х-1)(х-7), полученной после разложения на множители квадратного трехчлена 3х²-24х+21. В режиме Trace можно убедиться, что графики функций полностью совпадают.

При изучении данного материала подчеркивается, что полученные выводы о преобразованиях графиков применимы к любым функциям. Рекомендуем предложить учащимся соотнести результат выполнения упражнения № 176 в тетради с графическим исполнением с помощью калькулятора.

Пример № 176

Какие преобразования надо выполнить, чтобы:
а) из графика функции у=х³ получить графики функций
у=-х³, у=(х-3)³, у=х³+4?

При выводе графиков по одному на картинках одна и та же точка (перегиба) отмечена курсором.

б) из графика функции получить графики функций ,

Используем стандартное окно вывода:

Пример № 177

Постройте в одной координатной плоскости графики функций у=|х|, y=|x-4|, y=|x-4|-3.

5. Применение графических калькуляторов повышает наглядность при изучении материала, посвященного решению неравенств с одной переменной.

В учебнике (на стр. 41-44) рассматриваются примеры решения неравенств:

а) 5х²+9х-2 < 0;

б) 3х²-11х-4 > 0;

в) -0,25х²+2х-4 < 0;

г) х²-3х+4 > 0.

Для каждого из неравенств выясняется, как расположена соответствующая парабола относительно оси х (для этого решается квадратное уравнение), затем схематически рисуется расположение параболы в зависимости от направления ее ветвей, и, наконец, отыскиваются решения квадратного неравенства.

Опыт показывает, что к моменту изучения данного материала учащиеся еще не достаточно свободно владеют параболой, и схематическое представление графика для них не является очевидным. Чтобы не растерять внимание учащихся и сосредоточиться на важном заключительном этапе решения неравенства, обратимся к калькулятору.

Построение и исследование графиков осуществляется как обычно. Единственное, на что рекомендуется обратить внимание, это выбор окна вывода для обеспечения большей наглядности.

а) Для неравенства 5х²+9х-2 < 0:

Найдем точки пересечения графика с осью х в режиме G-Solv ([F1] - ROOT):

Парабола обращена ветвями вверх. При -2<х<0,2 график проходит ниже оси х, т.е. здесь значения функции меньше нуля. Эта область и есть решение данного неравенства.

б) Для неравенства 3х²-11х-4>0:

Точки пересечения графика с осью х:

Поскольку мы искали область, где график проходит выше оси х, то решением неравенства являются области, где х <-1/3 и х >4.

в) Для неравенства -0,25х²+2х- 4<0:

Определяем, что парабола, ветви которой направлены вниз, касается оси х при х=4:

Следовательно, решением неравенства являются все значения х, кроме х=4.

г) Для неравенства х²-3х + 4 > 0:

График функции не имеет точек пересечения с осью х и весь проходит выше нее. Следовательно, решением данного неравенства является любое число.

В дополнительных упражнениях предлагается решить системы неравенств с одной переменной, одно из которых (или оба) является неравенством второй степени. Рекомендуем для иллюстрации идеи нахождения общих решений двух неравенств рассмотреть с помощью калькулятора упражнение № 192.

Пример № 192

Найти общие решения неравенств

х² + 6х-7 ≤ 0 и х² - 2х - 15 ≤ 0.

В режиме Trace можно убедиться, что графики обеих функций одновременно находятся не выше оси х на отрезке [-3; 1]:

Ответ: [-3; 1].

6. Для разъяснения метода интервалов в учебнике используется функциональный подход. Рассуждения, приведенные в учебнике (на стр. 46-47), рекомендуем проиллюстрировать графически.

1) Построим график функции у=(х+2)(х-3)(х-5):

При выборе окна вывода можно не менять стандартного значения границ для х, тогда шаг по оси х в режиме Trace будет равен 0,1. А вот по оси у график придется сильно "сплющить".

Мы видим, что, действительно, график функции пересекает ось х в точках -2, 3 и 5. В этих точках функция меняет знак. При х < -2 функция имеет отрицательные значения, при -2 < х < 3 - положительные, при 3 < х < 5 - снова отрицательные, а при x > 5 - положительные.

2) Решив неравенство -0,2(х+4)(х+1)(х-4) < 0 по алгоритму, предложенному в учебнике, получим, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-4; -1) и (4; +∞).

Проиллюстрируем решение графически: