3.2. Уравнения и системы уравнений
1. К решению некоторых видов целых уравнений применим способ разложения на множители их левых частей. Выполнив соответствующие преобразования и получив корни уравнения, обратимся для самопроверки к графическому калькулятору: построим график многочлена, стоящего в левой части исходного уравнения (калькулятор позволяет построить график многочлена практически любой степени - правда, есть ограничение на длину выражения, определяемое количеством символов, которое может вместить строка ввода). По точкам пересечения графика с осью абсцисс можно определить число корней и примерные (иногда точные) их значения.
С помощью графиков нужно обратить внимание учащихся на то, почему нельзя делить обе части уравнения на содержащий переменную общий множитель, который может быть равен нулю при некоторых значениях переменной. Ведь в этом случае произойдет потеря корня! Рассмотрим пример.
Пример № 213
д) Решите уравнение x4- x2 = 3x3 - 3x.
Решение 1 (верное).
Перенесем все слагаемые в левую часть:
x4 - x2 - 3x3 + 3x = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
x(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0.
Отсюда: х1=0, х2=3, х3=1, х4=-1.
Решение 2 (неверное).
Разложим левую и правую части равенства на множители:
x2(x2 - 1) = 3x(x2 -1).
Разделим обе части равенства на общий множитель (x2-1), перенесем все слагаемые в левую часть: x2-3x=0, и разложим левую часть на множители: x(x-3)=0. Отсюда: х1=0, х2=3.
Мы видим, что при втором решении данного уравнения произошла потеря двух корней. Проиллюстрируем этот факт графически.
Построим в одной и той же координатной плоскости сначала график для
y=x4-x2-3x3+3x (многочлен можно не приводить к стандартному виду),
затем построим график для y=x2-3x.
Из рисунков видно, что в результате преобразования исходного уравнения потеряны два его корня: х=-1 и х=1.
2. В учебнике рассматривается графический способ решения некоторых видов целых уравнений. Продвижение в сравнении с восьмым классом состоит в том, что решение уравнения не ограничивается поиском абсцисс точек пересечения соответствующих графиков по рисунку, а дополняется приемом уточнения приближенных значений корней.
Все рассуждения, изложенные в учебнике относительно графического решения уравнения на примере х3+х-4=0 (стр. 60-61), советуем проиллюстрировать с помощью графического калькулятора.
При построении графика сначала используем стандартное окно вывода, а затем сдвинем его с помощью клавиши [REPLAY]:
Графики функций у=х3 и у=4-х имеют только одну точку пересечения. Ее координаты можно найти в режиме Trace, а также (более точно) - в режиме G-Solv (команда [F5] - ISCT).
Первые два (слева) рисунка - копии экрана в режиме Trace (напомним, что в режиме Trace курсор перемещается по графику одной из функций нажатием клавиши [REPLAY] вправо и влево, а нажатие этой же клавиши вверх или вниз приведет к переходу курсора на график другой функции). На каком именно графике находится курсор в данный момент, указано в левом верхнем углу экрана. Заметим, что наиболее близок курсор к точке пересечения графиков при х = 1,4, но значения функций при этом не совпадают (у1=2,744, а у2=2,6).
На третьем рисунке курсор перемещен командой ISCT в точку пересечения обоих графиков. В левом верхнем углу экрана указаны обе рассматриваемые функции. Точность вычисления, осуществленного графическим калькулятором, составляет 8 знаков.
Вместе с тем, калькулятор позволяет построить и график самой исследуемой по условиям задания функции. При стандартном окне вывода он будет иметь вид:
То, что график функции во многом похож на график функции у=х3, можно заметить, изменив масштаб.
Однако советуем снова вернуться к стандартному окну вывода. Калькулятор позволяет сразу найти значение корня (команда ROOT в режиме G-Solv):
Обратим внимание на то, что значение х в точности совпало с тем, что было найдено для точки пересечения двух графиков, рассмотренных ранее.
Возникает вопрос, а как калькулятор нашел корень с такой точностью? Ясно, что не по графику (напомним, там точность определяется шагом курсора, при данном масштабе он равен 0,1). Ответ прост: он нашел его численно с заданной точностью по вложенному в него алгоритму. Этот алгоритм очень часто используется при решении аналогичных задач, для которых найти точный ответ затруднительно. Алгоритм приведен в учебнике. Теперь учащиеся могут с ним ознакомится, а необходимые вычисления выполнить на калькуляторе сами.
Из графика видно, что точка пересечения его с осью х находится между 1 и 2. То есть первой цифрой в десятичной записи значения корня будет 1. Теперь найдем следующий десятичный знак - десятые. Для этого найдем значения функции для х=1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9. Чтобы не вычислять вручную, воспользуемся режимом работы с таблицами. Переход в него осуществляется из главного меню. На экране появится список функций, аналогичный тому, который был в режиме построения графиков функций, только теперь вместо Graph Func заголовок таблицы стал Table Func (табличная функция). Введенная ранее функция в этой таблице уже находится. Рекомендуется проверить, выделен ли знак равенства в выражении. Если нет, то надо нажать [F1] (SEL), иначе функция не будет выбрана для последующих вычислений. На это надо обращать внимание учащихся, так как забывчивость в выделении функций в списке достаточно типична.
Теперь надо задать начальное и конечное значение аргумента, а также шаг, с которым надо производить вычисления. Напоминаем, что для этого надо нажать [F5] (SET - установка) и изменить значения в появившейся таблице на желаемые. При этом, как всегда, нужную строку надо выделить цветом с помощью клавиши [REPLAY], набрать нужное значение и нажать [EXE]. Выход из режима - клавиша [EXIT]. На экране снова появится список функций.
Чтобы построить таблицу значений функции, надо нажать [F6] (TABL), задав тем самым калькулятору соответствующую команду. На экране появится таблица:
В этой таблице два столбца: в одном - значения аргумента, в другом - соответствующие им значения функции. Как видно из рисунка, одновременно на экране видна только часть строк таблицы. Для просмотра остальных строк можно воспользоваться клавишей [REPLAY]. Но в данном случае это делать необязательно, функция поменяла знак между значениями х=1,3 и х=1,4. Таким образом, цифры 1 и 3 будут двумя первыми цифрами в десятичной записи корня.
Продолжим процесс, взяв новые границы и новый шаг вычислений:
Получена новая таблица. Теперь для определения интервала смены знака ее пришлось "промотать". Заметим, что при х=1,38 значение функции подошло довольно близко к нулю, калькулятор даже перевел его в стандартный вид (8Е-3=0,008). Однако продолжим процесс:
Обратим внимание на то, что при вводе шага вычислений калькулятор автоматически перевел введенное число в стандартный вид. Таким образом, была вычислена очередная цифра в значении корня: х=1,378...
На этом процесс вычислений может быть прекращен. Можно взять в качестве значения корня х=1,3785 (середину интервала, на котором функция меняет знак).
В качестве упражнений для самостоятельного решения предложим учащимся №№ 215, 294.
3. Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными требует построения в одной системе координат графиков уравнений с двумя переменными. К сожалению, калькулятор не может построить график функции, если она не задана в виде уравнения, в котором одна переменная выражена через другую. Ведь он понимает только записи вида:
Y=<выражение с переменной Х>
Покажем на примере построения графика уравнения окружности х2+у2=4, как можно "помочь" калькулятору.
Преобразуем исходное уравнение: y2= 4-х2, откуда:
Это позволяет представить график, заданный уравнением с двумя переменными, в виде графиков двух функций от одной переменной:
Теперь построим график на калькуляторе, перейдя в режим GRAPH из главного меню. При построении графика использовалось стандартное окно вывода.
График, а точнее, графики, можно исследовать в режиме Trace:
Таким способом можно, к сожалению, построить графики далеко не всех выражений с двумя переменными. Для уравнений более высокой степени, чем 2, не всегда возможно выразить у через х. Но для большинства примеров из учебника этот подход годится.
Построенные таким образом графики можно использовать при решении систем уравнений с двумя переменными.
Решим графически систему уравнений, предложенную в учебнике (стр. 67):
Построить придется не два графика, как сказано в учебнике, а три, так как для построения первого графика придется строить графики двух функций:
На рисунке видно, что график параболы пересекает "круг" в четырех точках. Для того, чтобы найти координаты точек пересечения, можно воспользоваться режимом G-Solv. Но, к сожалению, "круг" для калькулятора состоит из двух графиков, и он не знает, пересечения какого графика с каким надо искать. Придется искать точки пересечения по "половинкам круга", по очереди находя пересечения графика Y3 с Y1 и Y2. Напомним, что исключение функции из списка тех, для которых надо строить график, равно как и включение их в этот список, осуществляется с помощью клавиши [F1] (SEL). При этом исчезает (а при включении - снова появляется) выделение на знаке равенства в записи функции.
Теперь точки пересечения графиков функций можно найти в режиме G-Solv ([SHIFT] и [F5]) с помощью команды ISCT (клавиша [F5]).
Точно такие же действия надо повторить и для другой "половинки круга":
Отметим, что для большей наглядности окно вывода было чуть сдвинуто уже после построения графика с помощью клавиши [REPLAY] (перед входом в режим G-Solv).
Пример № 239
Решите графически систему уравнений:
Преобразование первого выражения потребует несколько больших усилий, чем в предыдущем примере: (y-5)2 = 9-(x-4)2, откуда:
Получаем:
Построим графики этих уравнений:
Теперь найдем корни в режиме G-Solv аналогично предыдущему примеру:
Пример № 302
Решите графически систему уравнений:
Напомним, что функция y=|x| входит в число стандартных функций, предусмотренных в калькуляторе, но вводить ее придется через меню (напомним, ввод осуществляется последовательным нажатием клавиш [OPTN], [F5] (NUM) и [F1] (Abs), см. рекомендации в п. 1). Для построения графика используем стандартное окно вывода, а затем сдвинем его вверх с помощью клавиши [REPLAY]. После этого можно переходить к определению точек пересечения графиков в режиме G-Solv (ISCT):
Построив в одной системе координат графики двух функций и найдя координаты точек их пересечения, получим решение системы: (1,6; 1,6); (-1,6; 1,6).
