(906)764-3094ПН-СБ с 10:00 до 18:00
We speak English

3.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии

1. Изучение темы начинается со знакомства с примерами числовой последовательности. Наиболее интересные вопросы здесь: каковы первые семь членов последовательности? Есть ли в последовательности наибольший член? Принадлежит ли последовательности то или иное число, и если да, то каким членом последовательности оно является?

Использование графического калькулятора в табличном режиме позволяет учащимся, отвлекаясь от рутинных вычислений, получить нужные члены числовой последовательности, изобразить их в виде точек координатной плоскости и охарактеризовать рассматриваемую последовательность.

Предложим учащимся найти первые десять членов последовательности, задаваемой формулой n-го члена:

При построении графика можно использовать стандартное окно вывода (напомним, в режиме V-Window оно задается нажатием клавиши [F1] (INIT)). Для исследования графика рекомендуется перейти в режим Trace. Курсор при этом будет "скакать" с точки на точку, а в нижней строке будут выводиться координаты.

Мы видим, что все точки располагаются на координатной плоскости выше прямой, проходящей через точку (0; 2) параллельно оси х. Следовательно, все члены последовательности больше 2. Наибольшее значение последовательность принимает при х=1 (у1=3).

2. При рассмотрении арифметической прогрессии учащиеся заметят, что точки, изображающие члены последовательности на координатной плоскости, располагаются на одной и той же прямой.

Найдем первые семь членов последовательности

и изобразим их на координатной плоскости:

Отметим, что окно вывода было получено в результате сдвига стандартного окна вправо. Его параметры будут приведены ниже.

Построение точек, соответствующих значениям, указанным в построенной таблице, осуществлялось с помощью команды G-PLT (клавиша [F6]). В графическом калькуляторе предусмотрена также команда соединения построенных точек отрезками прямой линии - G-CON (клавиша [F5]):

Построенные на плоскости координат точки визуально лежали на одной линии, соединившие их отрезки еще более наглядно образовали отрезок прямой.

Рассмотрев таблицу, мы видим, что в данной последовательности каждый следующий член меньше предыдущего на 0,5. Докажем это:

Таким образом, при любом натуральном n разность постоянна. Значит, последовательность, заданная формулой

,

является арифметической прогрессией. Вообще, если последовательность задана формулой an=kn+b, где k и n - некоторые числа, то она является арифметической прогрессией.

Подобные примеры способствуют формированию представлений о последовательности как о функции, областью определения которой является множество натуральных чисел. В частности, арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

3. Использование графического калькулятора в табличном режиме позволяет расширить систему упражнений, включая в нее новые задания.

Приведем примеры:

1) Вычислите члены арифметической прогрессии

  • an=0,4n-4 для четных значений n, меньших 15;
  • bn=2,5-0,3n для нечетных значений n, меньших 15.

В таких случаях для вычисления членов последовательности можно задать шаг, равный 2:

Таблица целиком не помещается на экране, ее приходится "проматывать". Обратим также внимание на то, что построение последовательности мы начали с n=2, так как нас интересовали только четные значения n.

В этот раз таблица строилась только до 14, так как нас интересовали только n<15.

Рекомендуется предложить учащимся найти:

  • для последовательности an - номер первого неотрицательного члена
    (ответ: n=10);
  • для последовательности bn - номер первого отрицательного члена
    (ответ: n=9).

2) В геометрической прогрессии первый член равен 3. При каких из данных значений q

прогрессия будет убывающей?

Учащиеся, конечно, догадаются, что последовательность bn=b1qn-1 будет убывающей при q<1. Действительно, определим с помощью калькулятора первые четыре члена каждой из рассматриваемых последовательностей.

Видим, что убывают члены первой и третьей геометрических прогрессий. Это же можно наблюдать по расположению точек на координатной плоскости:

В режиме Trace можно убедиться, что прогрессии, обозначенные Y1 и Y3, убывают, а Y2 - возрастает:

Изменится ли вывод, если при данных знаменателях первый член прогрессии будет отрицательным, например, -3?

Ответ: при смене знака первого члена убывающие прогрессии станут возрастающими, и наоборот. На координатной плоскости графики как бы отразятся относительно оси х:

3) В упражнении № 401 требуется определить, каким станет вклад через 3 года, если вклад был равен 800 руб., а ежегодное увеличение составляет 9%.

Имеем: через год - 800 x 1,09 (руб.),
через 2 года - 800 x (1,09)2 (руб.),
через 3 года - 800 x (1,09)3 (руб.),

Получим: 1036 руб.

Переформулируем условие:

Вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 9%. Каким будет вклад в конце каждого года в течение трех лет, если вклад равен: 800 руб.; 1200 руб.; 1500 руб.?

Имеем прогрессию, заданную формулой bn=b1(1,09)n-1. Воспользуемся табличным режимом работы калькулятора:

Отметим при этом, что целиком строка с формулой на экране калькулятора, к сожалению, не помещается.

Можно построить и графическое отображение данных прогрессий, задав соответствующие параметры окна вывода. Естественно, больший первоначальный взнос обеспечивает более быстрый рост капитала.

4. Сопоставим характер изменения двух прогрессий. Арифметическая прогрессия изменяется (растет или убывает) равномерно. Геометрически это выражается в том, что точки, изображающие ее члены на координатной плоскости, лежат на прямой. Геометрическая прогрессия меняется неравномерно: при b1>0 и q>1 ее члены растут очень быстро. Изображающие их точки координатной плоскости лежат на кривой (экспоненте), которая круто "уходит" вверх.

Рассмотрим ситуацию:

Две фирмы А и В одновременно начали свою деятельность. В первый месяц каждая их них получила доход 2 тыс. руб. В последующие 9 месяцев доход рос следующим образом: в фирме А доход ежемесячно увеличивался на 1,1 тыс. руб.; в фирме В - в 1,4 раза.

Очевидно, что для фирмы А доход изменяется в арифметической прогрессии, задаваемой формулой an=2+1,1(n-1). А вот для фирмы В доход измеряется геометрической прогрессией, задаваемой формулой bn=2·1,4n-1.

Построим таблицы и графики дохода фирм А и В с помощью калькулятора:

Из таблиц видно, что в первые три месяца доход фирмы А превышал доход фирмы В, но затем доход фирмы В существенно возрастает и к концу года превышает доход фирмы А больше чем в пять раз.

Геометрическое представление последовательностей также чрезвычайно наглядно: