3.4. Степень с рациональным показателем

1. Важно обратить внимание учащихся на особенность графиков четной функции и нечетной функции. Советуем упражнения типа №№ 486, 636 сначала выполнять, опираясь на определения четной и нечетной функции. Затем, построив график, рассмотреть его: график четной функции симметричен относительно оси у, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. При этом использование калькулятора позволяет основываться не только на чисто визуальном впечатлении, но и точных расчетах значений функции в режиме Trace или G-Solv.

Построим графики функций:

При построении графиков данных функций рекомендуется задавать окно вывода так, чтобы наиболее наглядно продемонстрировать свойства функций. Как правило, масштаб по оси х можно оставить стандартным, а вот по оси у графики лучше "сжать".

В режиме Trace убедимся, что для данной функции y(-x)=y(x). Использование графического калькулятора позволяет при этом вычислять значения функции не только для "удобных" значений х:

График функции расположен в первой и второй координатных четвертях, имеет точку разрыва при х=0, его ветви симметричны относительно оси у. Функция четная.

График функции имеет более сложный вид:

График расположен во всех четырех четвертях и имеет точки разрыва при х= -1 и х= 1. Для проверки симметрии графика функции относительно оси у воспользуемся режимом G-Solv (команда X-CAL). Напомним, что для этого при выведенном на экран исследуемом графике надо нажать клавиши [SHIFT] и [F5] (G-Solv), "промотать" появившееся меню функциональных клавиш, нажав [F6] (), и выбрать команду X-CAL (клавиша [F2]). После этого надо задать произвольное значение Y, нажать [EXE] и просмотреть соответствующие значения Х:

Можно убедиться, что для любых существующих значений у (кроме у= -8) ему соответствуют два значения х, равных по модулю, но противоположных по знаку. Следовательно, функция четная.

График функции  можно строить с использованием стандартного окна вывода. Напомним, что в режиме V-Window оно задается нажатием клавиши [F1], текущим значением которой будет INIT.

График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях и имеет одну точку разрыва при х=0. В том, что он симметричен относительно начала координат, можно убедиться в режиме Trace. Функция - нечетная.

А вот функция  не является ни четной, ни нечетной:

График функции расположен в первой, второй и третьей координатных четвертях, имеет две точки разрыва при х=0 и х=-2. Вместе с тем, сильные учащиеся могут заметить, что данная функция симметрична относительно прямой, проходящей через точку х=-1 параллельно оси у. И если в рассматриваемой функции заменить х на х-1

, функция станет четной:

2. При знакомстве со степенной функцией учащиеся смогут, используя графический калькулятор, вычислять значения функции y=xⁿ, строить ее график и по графику находить значение корня.

Пример № 502

Используя графический калькулятор, найдите значение функции y=x⁵ при х=2,6; -3,4; 1⁄3.

Решение сводится к вычислению значений выражения x⁵. Задавая х данные значения, получим значения у.

При вычислениях мы использовали команду присваивания, но можно было и просто записать числовое выражение. В последнем примере с помощью клавиши [F↔D] результат был переведен из обычной дроби в десятичную.

Полученные результаты округлим:
118,81376 ≈ 118,8;
- 454,35424 ≈ - 454,4;
4,115226337·10^–3 ≈ 0,00412.

Пример № 503

а) Построить график функции у=х⁶.

Задавая окно вывода, сохраним стандартные значения параметров для Х, а по Y график несколько "ужмем":

Полученный график напоминает параболу, но его ветви устремлены вверх более круто. В режиме Trace учащиеся определяют значения функции для нескольких значений х (0; 0,5; 1; 1,2; 1,4).

Соответствующие точки отмечаются в тетради на координатной плоскости, а поскольку функция у=х⁶ четная, то отмечаются и точки, симметричные им относительно оси у. График функции может быть с достаточно высокой точностью перенесен в тетрадь.

Пример № 503

б) Для у=х⁷ найдем с помощью калькулятора точки:

(0; 0), (0,5; 0,008), (1; 1), (1,2; 3,6), (1,3; 6,3), (1,4; 10,5) и в тетради построим точки, симметричные им относительно начала координат. Соединим точки. Сравним построенный график с графиком, полученным на калькуляторе:

Пример № 507

Пользуясь графиком функции у=х⁴, решим уравнение х⁴=8,5. Для наглядности проведем прямую у=8,5. Точку пересечения функций найдем в режиме G-Solv (ISCT):

В принципе, строить вторую функцию было не обязательно. Можно было воспользоваться командой X-CAL в режиме G-Solv:

В результате получаем: х₁≈-1,7; х₂≈1,7.

3. В связи с введением понятия степени с дробным показателем рекомендуем ознакомить учащихся с нахождением при помощи калькулятора значения корня n-й степени при n>3. Для нахождения корней имеется несколько возможностей:

1) Воспользуемся определением: если а - положительное число, 1⁄n -дробное число (n - натуральное число), то

.

2) Воспользуемся клавишами [SHIFT] и [^] (соответствует команде ввода шаблона, форма шаблона подписана желтым шрифтом над клавишей: ).

Пусть n=6 и a=729. Найдем корень обоими вышеназванными способами в режиме вычислений:

На рисунках подробно показана вся последовательность действий ввода и вычисления значения выражения. Сначала вводится число, а затем нажатием клавиши [^] вводится шаблон степени. Курсор при этом находится внутри шаблона. Поскольку степень задается дробью, то нажатием клавиши [a^b/_c] на месте шаблона степени вводится шаблон простой дроби. Этот шаблон заполняется, как обычная дробь, курсор переводится в знаменатель с помощью клавиши [REPLAY]. Затем нажатием клавиши [EXE] калькулятору дается указание вычислить значение выражения. Получаем ответ (3).

Последовательность действий при вычислении корня вторым способом несколько короче. Сначала последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [^] вводится шаблон корня. Требуется заполнить значения показателя степени корня и подкоренного выражения, перемещая курсор по шаблону с помощью клавиши [REPLAY]. Нажатием клавиши [EXE] калькулятору дается указание вычислить значение выражения. Ответ, естественно, совпадает с полученным ранее (3).

4. Важную роль приобретают графики для выяснения вопроса о существовании корня n-й степени из числа.

Если n - нечетное число, то любое число может быть значением функции y=xⁿ. Зависимость х от у обозначают так:

или, переходя к обычным обозначениям, так:

Построим в одной системе координат графики функций

.

Поскольку в графическом режиме возможна только линейная запись выражений, то вместо

 запишем  (в линейном виде это X^(1:5)):

При построении графиков было использовано стандартное окно вывода, при котором масштаб по осям х и у одинаков.

Построенные графики симметричны относительно прямой у = х.

Если n - четное число, то функция y=xⁿ не является монотонной, и область значений для

есть множество [0; + ∞). Построим в одной системе координат графики функций

.

График функции симметричен относительно прямой у=х для правой (расположенной в первой координатной четверти) ветви графика y=x⁴.