1.2. Комментарий к упражнениям по теме "Таблица частот. Вычисление среднего арифметического, медианы и моды"

Задание 1. Подтягивание на перекладине

Старшеклассникам было предложено выполнить упражнение по подтягиванию на перекладине для оценки их силовой подготовки по следующим нормативам: отл. - 11 раз, хор. - 9 раз, удовл. - 7 раз.

Для 40 ребят в результате выполнения упражнения получен ряд: 10, 8, 9, 9, 8, 10, 11, 13, 9, 9, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 10, 9, 8, 11, 10, 11, 12, 8, 12, 11, 8, 12, 11, 9, 11, 9, 11, 11, 9, 11, 9, 6, 9, 9.

Составьте таблицу частот. По таблице ответьте на следующие вопросы:

1. Сколько ребят подтянулись 9 раз? менее 9 раз?
2. Сколько ребят показали отличную подготовку при выполнении данного упражнения?
3. Какой свой вопрос вы можете задать?

Решение

Введем в калькулятор данный ряд чисел (столбец 1) и упорядочим его по возрастанию (столбец 2). Теперь можно составить таблицу частот в столбцах 3 и 4:

Проанализируем таблицу частот в соответствии с заданиями.

1. 9 раз подтянулись 12 ребят, менее 9 раз подтянулись 8 ребят.
2. Отличную подготовку показали 15 (10 + 4 + 1) ребят.
3. Зададим, например, такой вопрос: "Какова медиана данного ряда чисел?" - и ответим на него.

В ряду 40 чисел, поэтому, найдя значения 20-го и 21-го из них, получим значение медианы: . Результат, близкий к срединному, показала довольно большая группа ребят (6 + 12 + 5) - согласно нормативам они получили оценки "хорошо" и "удовлетворительно".

Об этом свидетельствует и среднее арифметическое оценок, равное 9,725. Можно сказать, что данная группа старшеклассников в упражнении на перекладине проявила достаточно хорошую подготовку.

Задание 2. Рекорд

Фирма "Заря" установила рекорд по количеству яиц, получаемых ежемесячно. Для одного месяца из 30 дней зафиксировано следующее количество отложенных яиц:

120 133 134 123 121 127 121 134 127 118
128 127 120 119 119 151 142 141 133 117
124 121 133 119 127 119 127 133 132 142

1. Постройте таблицу частот для этих данных.
2. Вычислите среднее арифметическое число яиц, откладываемых ежедневно в данном месяце. Сравните его с модой ряда данных.

Решение

1. Введем исходные данные в столбец 1, и в нем же проведем сортировку по возрастанию:

Составим в столбцах 2 и 3 таблицу частот:

Проверим правильность пересчета, исходя из того, что суммы исходных и преобразованных данных должны совпадать:

2. Определим среднее арифметическое как отношение общей суммы к количеству элементов (результат сохраним в ячейке 3 столбца 4, которая уже выделена):

Анализируя данную числовую информацию, можно сказать, что в этом месяце фирма "Заря" получила 3832 яйца, что в среднем ежедневно она получает 127-128 яиц, и это число почти совпадает с модой, равной 127.

Задание 3. Яблоки

Лаборант-исследователь определял объем яблок. Для этого он измерил диаметр каждого из 100 яблок, записал его с точностью до 1 см и построил таблицу частот:

1. Определите моду ряда данных.
2. Вычислите средний диаметр измеренных яблок; используя результат, подсчитайте примерный объем "среднего" яблока, считая его форму шаром.

Решение

1. Войдем в режим STAT и введем данные.

Проанализируем введенные значения. В столбце 2, отображающем частоту, максимальным значением является число 18, ему соответствует диаметр 11 см, который и является модой данного ряда чисел.

2. Чтобы определить средний диаметр, сначала найдем сумму диаметров всех яблок.

Это можно сделать двумя способами. В первом сначала вычислим сумму для каждого диаметра в отдельности (результат запишем в столбец 3), затем найдем общую сумму диаметров (результат запишем в ячейку 1 столбца 4). Во втором проведем суммирование сразу, т.е. вычислим сумму произведений соответствующих ячеек столбцов 1 и 2 (результат запишем в ячейку 1 столбца 3). Первый способ предпочтителен при объяснении алгоритма нахождения общей суммы, а второй - более короткий - можно использовать позже.

Далее определим количество измерений, то есть сумму данных столбца 2. И теперь найдем среднее арифметическое (в данной задаче этот расчет можно провести в уме).

Способ 1:

Способ 2:

Заметим, что среднее значение, примерно равное 10 см, не совпадает с модой ряда данных, равной 11 см. Теперь подсчитаем объем яблока по формуле объема шара:

яблоко, диаметр которого чуть более 1 дм, имеет объем примерно равный 4 дм³.

Задание 4. Игрушки

Для подшефного детского сада школьники решили собрать к празднику елочные игрушки. В школе 28 классов. Семиклассники Коля, Саша и Миша вели учет собранных игрушек.

Коля:

Саша:

Миша:

Данные о сборе елочных игрушек каждым из классов представьте в виде числового ряда и выполните следующие задания:

1. Введите данные в калькулятор и с помощью калькулятора:
   а) расположите числа в ряду в порядке возрастания;
   б) определите медиану ряда (запишите ее значение);
   в) дополните таблицу столбцом частот, определите моду ряда.
2. Найдите среднее арифметическое данных и сравните его с модой ряда.

Решение

Рассмотрим следующую числовую информацию:
Коля: 33 48 35 38 38 36 33 40 40
Саша: 35 38 30 33 30 35 38 35 38
Миша: 33 36 44 35 35 38 30 38 30 33

1. Войдем в режим STAT и введем данные.

а) Проведем сортировку данных, используя подменю TOOL.

б) Определим медиану ряда как среднее значение между четырнадцатым и пятнадцатым членами последовательности:

Таким образом, имеем медиану, равную .

в) Дополним таблицу столбцом частот:

По таблице определим моду: 38.

2. Найдем среднее арифметическое данных.

Среднее арифметическое примерно равно 36, а мода чуть больше и равна 38, что характеризует активность ребят в сборе игрушек. Заметим, что всего собрано свыше 1000 елочных игрушек.

Задание 5. Демографическая ситуация в Москве в начале XVIII века

Ознакомьтесь с информацией из ведомостей о числе родившихся в Москве в 1703 году.

Определите среднюю рождаемость мальчиков и девочек в 1703 году. Сравните с медианой.

Решение

Введем данные в калькулятор и рассчитаем среднюю рождаемость и медиану (в нашем случае в третьем столбце проведены расчеты для мальчиков, в четвертом - для девочек):

Сделаем вывод: в среднем в 1703 году ежемесячно мальчиков рождалось примерно на 50 младенцев больше, чем девочек (хотя, глядя на таблицу, можно заметить, что в феврале девочек родилось больше, чем мальчиков). Сравнивая среднее арифметическое с медианой, можно отметить, что в обоих случаях среднее арифметическое несколько меньше медианы.