1.2. Таблица частот. Вычисление среднего арифметического, медианы и моды
Пример 2. Картофель
Лаборант-исследователь взвесил каждую из 30 картофелин одного сорта и записал ее массу с точностью до 10 г. Получился ряд чисел: 210, 200, 210, 180, 190, 180, 190, 200, 170, 190, 190, 220, 170, 200, 190, 210, 200, 190, 180, 170, 220, 190, 180, 210, 200, 190, 180, 200, 200, 190.
Рассмотрите числовую информацию и выполните следующие задания:
- Введите данные в калькулятор и с помощью калькулятора:
а) расположите числа в ряду в порядке возрастания;
б) определите медиану ряда (запишите ее значение);
в) дополните таблицу столбцом частот, определите моду ряда. - Используя калькулятор, найдите среднюю массу картофелины (среднее арифметическое данных) и сравните ее с модой ряда. Сделайте вывод. Определите, сколько примерно картофелин окажется в 50 кг картофеля рассматриваемого сорта.
Комментарий к выполнению заданий
1. Войдем в режим STAT и введем данные в калькулятор.
а) Для расположения чисел в порядке возрастания переместимся по меню функциональных клавиш с помощью стрелки [F6], выберем подменю TOOL ([F1]) и в нем нажмем SRT-A ([F1]):
На экране появится сообщение:
Поясним его:
- Sort Lists Into Ascending Order - сортировать столбцы в порядке возрастания,
- How Many Lists? - сколько столбцов сортировать (в калькуляторе есть возможность сортировки нескольких столбцов, данные которых взаимосвязаны).
Нам надо отсортировать один столбец, поэтому нажмем 1 и [EXE]:
Появится новый запрос:
Поясним его:
- Select List - выберите столбец,
- List No - введите номер столбца (в таблице этого режима все столбцы могут быть заполнены данными, поэтому следует указать калькулятору, какие данные в данном случае используются для расчетов).
Мы сортируем столбец 1, поэтому нажмем 1 и [EXE] для завершения сортировки:
Теперь в первом столбце числа расположены в порядке возрастания.
б) Учащимся известно, что медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда. Просматривая столбец, найдем числа, стоящие на 15 и 16 местах: каждое из них равно 190. Значит, медиана данного числового ряда равна 190.
Покажем, как можно было бы найти значение медианы, воспользовавшись калькулятором. Для определения медианы нажмем [OPTN], чтобы получить доступ к функциям, которые не обозначены на клавиатуре:
Нас интересует подменю списочных функций, то есть LIST (нажмем [F1], чтобы войти в него):
Теперь с помощь клавиши [F6] переместимся по этому подменю: найдем и нажмем Med ([F4]). В строке ввода внизу экрана появится надпись Median(:
В качестве аргумента этой функции зададим номер столбца, медиану данных которого хотим определить, то есть List 1. После нажатия [EXE] в ячейке, которая была выделена черным цветом (в нашем случае это ячейка 31 первого столбца), появится вычисленное значение (в нашем случае это 190):
в) Для определения моды ряда сначала выполним подготовительную работу.
Удалим результат предыдущего вычисления из ячейки 31 (выделив ее черным цветом и нажав [DEL]):
Скопируем данные в столбец 2. Для этого выделим "шапку" столбца 2, введем название копируемого столбца (в нашем случае List 1) и нажмем [EXE]:
Теперь подсчитаем "вручную" частоту каждого элемента столбца 2, одновременно записывая полученные значения в столбец 3 и попутно удаляя из столбца 2 повторяющиеся числа. Имеем:
Анализируя столбцы 2 и 3, определим моду (наиболее часто встречающееся в ряду число) - это число 190. Заметим, что в данном случае значения моды и медианы совпадают.
Дополнительно, имея в виду практику отработки навыков действия с калькулятором, можно предложить учащимся проверить правильность заполнения столбцов. С этой целью проверим, совпадает ли сумма чисел столбца 1 с суммой произведений каждого из чисел столбца 2 на соответствующее число столбца 3.
Определим сумму данных столбца 1. Для этого выделим ячейку 1 столбца 4, нажмем [OPTN] и в подменю LIST нажмем Sum ([F1]) - суммирование (в качестве аргумента введем List 1), нажмем [EXE] для получения результата:
Теперь определим сумму данных иначе, используя столбцы 2 и 3. Уже выделена ячейка для занесения результата расчета - это ячейка 2 столбца 4. В подменю LIST нажмем Sum, в качестве аргумента введем List 2 x List 3, то есть будет проводиться суммирование произведений данных, содержащихся в ячейках с одинаковыми номерами столбцов 2 и 3:
Внимание! Произведение List 2 x List 3 должно быть заключено в скобки, чтобы калькулятор мог правильно определить порядок действий. Если скобки не ввести, то появится сообщение об ошибке:
Надо нажать [EXIT], как указано в сообщении (Press: [EXIT] - нажмите [EXIT]), и исправить выражение, добавив скобки (перемещение курсора по формуле осуществляется клавишей [REPLAY]).
Вывод: Результаты суммирования совпадают, значит данные были преобразованы корректно.
2. Для определения средней массы картофелины (среднее арифметическое данных) воспользуемся одним из рассмотренных выше способов получения суммы данных и результат суммирования разделим на 30. Получим: 5800 : 30 = 193,(3). Очевидно, что результат надо округлить до десятков по правилам вычисления с приближенными исходными данными. Получим: средняя масса картофелины примерно равна 190 г.
Но можно воспользоваться другим приемом работы с калькулятором, который не требует предварительного суммирования данных. Результат определения средней массы картофелины поместим в ячейку 3 столбца 4, которая уже выделена. Для вычисления в подменю LIST "переместимся" по стрелке:
и нажмем Mean - среднее значение, в качестве аргумента введем List 1, то есть среднее значение будет рассчитано для данных столбца 1:
Понятно, что результат надо округлить до десятков: 193,33... ≈ 190.
Мы уже знаем, что мода ряда данных равна 190 г, т.е. среднее значение и мода ряда данных совпадают с точностью до 10 г.
Определим, сколько примерно картофелин окажется в 50 кг картофеля рассматриваемого сорта. Разделив 50000 на 190, получим 263,15... Значит можно предположить, что в 50 кг картофеля рассматриваемого сорта окажется примерно 260 штук.
