1.3. Калькулятор как инструмент анализа и исследований при изучении физики и на экзамене ЕГЭ по физике. Расчет таблицы значений и исследование функций

Расчет таблицы значений и исследование функций

Калькуляторы могут значительно облегчить работу по построению и исследованию графиков функций. Они могут быстро рассчитать таблицу значений функций, по которой ее можно легко построить на бумаге. Для этого сначала нужно нажатием на клавишу [MENU] перейти в меню выбора режимов вычислений. Затем выбрать режим Table - вычисление таблицы значений функции. Откроется диалоговое окно ввода функции.

Затем нужно ввести функцию. В рассматриваемых моделях калькуляторов переменная x выделена на клавиатуре красным цветом, поэтому для ввода переменной х нужно сначала нажать клавишу [ALPHA], затем [)]. Далее эту операцию будем обозначать [ALPHA](Х). После ввода функции нужно нажать [=]. Появится диалоговое окно ввода второй функции.

Если вторую функцию вводить не требуется, то нужно нажать клавишу [=]. На дисплее появится диалоговое окно ввода параметров таблицы значений функции (параметры таблиц, если вводим две функции).

Все параметры вводятся по порядку. Для ввода значения нужно нажать клавишу [=]. Здесь Start - значение начальной координаты х исследуемой функции, End - значение конечной координаты х, Step - шаг по оси Х таблицы значений функции. После ввода шага функции нужно еще раз нажать [=], и на дисплее появится таблица значений функции.

69) Составьте таблицу значений функции f(x)=x²-3x+1 на интервале x=[0, .., 3] с шагом 0,2.

[MENU]3[ALPHA](Х)[x²][-]3[ALPHA](Х)[+]1[=][=]0[=]3[=][.]2[=][=]

Сразу все значения функции не помещаются на экране, но с помощью клавиш [↑][↓] можно перемещаться по таблице.

В результате, получим следующую таблицу:

Режим расчета таблицы значений функций может быть полезен не только для построения графиков функций на бумаге, но и для исследования функций. Например, в рассмотренном примере можно увидеть область перегиба функции с точностью до 0,2 по оси x. Она находится в интервале [1,4; 1,6] по оси х.

70) С помощью режима вычисления табличных значений определите точки экстремума функции y=3x³-2x с точностью 0,01 по оси «x».

Если установить диапазон функции от - 1 до 1 и задать шаг 0,01, то в калькуляторе появится сообщение об ошибке переполнения памяти.

Поэтому нужно предварительно определить области, где находятся экстремумы функции. Для этого зададим шаг 0,1.

[MENU]33[ALPHA](Х)[x³][-]2[ALPHA](Х)[=][=][-]1[=]1[=]0[.]1[=][=]

Из таблицы видно, что функция имеет две точки экстремума: в диапазонах [-0,6; -0,4] и [0,4; 0,6].

В калькуляторах предусмотрена возможность корректировки как самой функции, так и ее параметров. Для этого нужно нажать [AC] и повторить ввод. Если функция или какие-то ее параметры в корректировке не нуждаются, то для перехода к следующему действию достаточно нажать [=]. Исследуем функцию в вышеуказанных диапазонах.

[AC][=][=][-]0.6[=][-]0.4[=]0.01[=][=]
[↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↑]

[AC][=][=]0.4[=]0.6[=][=]
[↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓][↓]

Ответ: (-0,47; 0,6285), (0,48; -0,628).

71) Исследуйте функцию в диапазоне [-5 ; 5]

[MENU]32[ALPHA](Х)[x²][↓][ALPHA](Х)[+]1[=][=][-]5[=][=]

Проанализируем полученные данные. Функция возрастает на интервале x=[-5; -2], x=-1 - точка разрыва функции (ERROR означает отсутствие функции в данной точке), функция возрастает на интервале x=[0; 5]. Рассмотрим более подробно поведение функции около точки разрыва. Для этого составим таблицу значений на интервале x=[-2;0] с шагом 0,1.

[AC][=][=][-]2[=]0[=]0.1[=][=]

График функции имеет вид

Таким образом, функция возрастает на интервале [-5; -2], убывает на интервале [-2; -1], точка х=-2 - точка экстремума функции, x=-1 - точка разрыва функции (ERROR означает отсутствие функции в данной точке). На интервале x=[-1; 0] функция убывает, на интервале [0; 5] возрастает, х=0 - точка экстремума функции.

Этот подход позволяет графически находить корни уравнений.

72) Решите графически систему уравнений с точностью до 0,1

Составим таблицу значений и построим график функций y=x²-3x+1 и y=x³-2x²+x.

Для определения области пересечения сначала используем шаг 1.

[MENU]3[ALPHA](Х)[x²][-]3[ALPHA](Х)[+]1[=][ALPHA](Х)[x³][-]2[ALPHA](Х)[x²][+][ALPHA](Х)[=][-]5[=][=]

Просматривая таблицу, легко обнаружим, что точка пересечения графиков находится в диапазоне x=[0; 2].

Исследуем функции на этом диапазоне с шагом 0,01.

[AC][=][=]0[=]2[=]0.1[=][=]

Графики функций y=x²-3x+1 и y=x³-2x²+x

Ответ: 0,3.

Составьте таблицу значений функции и исследуйте ее для указанных параметров (19)

19. a) y=2x²+3x, на интервале х=[-2; 1];

б) y=3x³-2x-1, на интервале х=[-1; 1];

в) y=2x³-x+1, на интервале х=[-1; 1];

г) y=x³-2x^2,5+2, на интервале х=[0; 4];

д) y=-3x³+2x^4,5, на интервале х=[0; 2];

е) y=x⁵+2x²-1, на интервале х=[-1,2; 1,2];

ж) y=2x⁵-3x²-2, на интервале х=[-1,2; 1,2];

з) y=2x⁵+3x²-2x-1, на интервале х=[-1,4; 1,2].

Решите графически уравнения для указанных параметров (20)

20. а) y=x²+2x-1, на интервале х=[-4; 1] c точностью до 0,2;

б) y=3x²-2x-3, на интервале х=[-2; 2] c точностью до 0,2;

в) y=-x²+3x+2, на интервале х=[-2; 2] c точностью до 0,2;

г) y=-x²-2x+2, на интервале х=[-4; 2] c точностью до 0,25;

д) y=x³+x²+3x-1, на интервале х=[-1; 1] c точностью до 0,1;

е) y=x³-5x²+3x+1, на интервале х=[-1; 1] c точностью до 0,1;

ж) y=-x³-3x²+2, на интервале х=[-3; 1] c точностью до 0,2;

з) y=-2x³+4x+1, на интервале х=[-2; 2] c точностью до 0,2.

Решите графически системы уравнений для указанных параметров (21)

21.