2.1. Получение высоких баллов на ЕГЭ без использования калькулятора невозможно. Группа заданий ЕГЭ, которые не могут быть выполнены без калькулятора

Группа заданий ЕГЭ, которые не могут быть выполнены без калькулятора

Это задачи с логарифмами, тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями, в которых используются углы, отличные от 30°, 45° и 60°. Задачи с показательными функциями тоже представляют сложность при вычислении.

Пример задачи по механике

На проводящих рельсах, проложенных по наклонной плоскости, в однородном вертикальном магнитном поле находится горизонтальный прямой проводник прямоугольного сечения массой m = 20 г. Плоскость наклонена к горизонту под углом α = 30°. Расстояние между рельсами 40 см. Когда рельсы подключены к источнику тока, по проводнику протекает постоянный ток 11 А . При этом проводник поступательно движется вверх по рельсам равномерно и прямолинейно. Коэффициент трения между проводником и рельсами 0,2. Вычислить модуль индукции магнитного поля. При каких углах наклона рельсов равномерное движение стержня невозможно?

Решение

Изобразим все силы, действующие на проводник, и запишем второй закон Ньютона:

В проекциях на выбранные оси координат это уравнение в совокупности с законом сухого трения и законом Ампера дает:

Выражаем из этой системы уравнений магнитную индукцию:

Набираем в области редактирования калькулятора "как в тетради":

и в "одно касание" получаем ответ: B = 0,04 Тл.

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, нужно посмотреть на знаменатель дроби: он не должен равняться нулю. Следовательно,

ctgα ≠ 0,2,
α = arctg 0,2.

С помощью калькулятора узнаем, что предельный угол, при котором движение вверх невозможно, примерно равен 79°.

Пример задачи по квантовой физике

Пациенту ввели внутривенно 2 см³ раствора, содержащего радиоактивный изотоп ²⁴Na. Активность 1 см³ этого раствора в тот момент была А₁ = 2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа натрия ²⁴Na равен 15 часам. Через сколько времени активность 1 см³ крови пациента станет в 10000 раз меньше изначальной активности раствора, если объем крови пациента 6 л? Переходом ядер изотопа ²⁴Na из крови в другие ткани организма пренебречь.

Решение

Уменьшение активности происходит по двум причинам:

1. происходит радиоактивный распад ядер ²⁴Na, поэтому их количество в крови уменьшается;
2. происходит разбавление раствора кровью.

Первый фактор приводит к уменьшению активности по закону радиоактивного распада:

А за счет разбавления активность снижается в раз, где V₂ - объем крови пациента, V₁ - объем введенной дозы.

В итоге конечная активность 1 см³ крови соотносится с начальной активностью 1 см³ вводимого раствора следующим образом:

Теперь нужно выразить отсюда время t:

Прологарифмируем обе части по основанию 2.

Примечание: как вычислять логарифм по любому основанию на калькуляторе?

log_ab вводится в виде log (a,b). Для этого сначала нажимается клавиша [log]. На дисплее появляется log. Теперь надо ввести основание, т.е. нажать клавишу [2]. Теперь надо ввести [,]. Она находится в регистре [SHIFT] под клавишей [)]. Поэтому нажимаем [SHIFT] и [)]. Далее набираем логарифмируемое выражение и [=].

Отсюда находим t:

Подставляем численные значения:

Благодаря тому, что калькулятор позволяет вычислять логарифмы по любому основанию, мы не тратим время для перехода к натуральному или десятичному логарифму, а просто берем калькулятор и "в одно касание" получаем численный ответ: ≈ 26 ч.