1.4. Комментарий к упражнениям по теме "Дисперсия, среднее квадратичное отклонение"

Задание 1. Длина кирпича [3]

На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длину каждого.

Ниже представлены полученные величины (в см):

1. Определите среднюю длину кирпича.
2. Найдите величину среднего квадратичного отклонения длины кирпича от средней.
3. Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину среднего квадратичного отклонения?

Решение

Расчеты средней длины кирпича и среднего квадратичного отклонения длины кирпича от средней выполним с помощью калькулятора:

В первый столбец введены данные из рассматриваемого ряда длин кирпичей, во втором получен результат вычисления средней длины кирпича (20 см), третий - содержит квадраты отклонений данных длин от их среднего арифметического, четвертый - среднее арифметическое квадратов отклонений (0,25 см²). А отсюда имеем: среднее квадратичное отклонение для длин кирпича равно 0,5 см.

Всего 20 кирпичей. У двенадцати из них длины отличаются от средней на величину, большую, чем 0,2 см. Отношение 12:20 выразим в процентах устно; получим 60 % от общего количества кирпичей. Аналогично, видим, что у 20 % от общего количества кирпичей их длины отличаются от средней на величину, более чем 0,5 см.

Дополнительно: воспользуемся возможностью калькулятора представлять данные в виде графика. Для этого выполним автоматическую сортировку данных, преобразуя их в ряд по возрастанию, и,
присвоив каждому номер 1, 2, ..., 20, построим точечный график, откладывая по оси х номер кирпича, а по оси у - его длину:

С помощью курсора найдем серединное значение длины (20,05 см) и заметим, что оно почти совпадает с ее средним значением (20 см). Шагая по графику, увидим, что отклонения длин от средней длины незначительны и для большего числа кирпичей расположены в интервале от 19,5 до 20,5 см.

Задание 2. Выпечка пирогов

Выпечка пирогов проводится в двух духовках при разной температуре в зависимости от вида теста. В первой духовке выставлена температура 260 °С, а во второй - 180 °С. При измерении температуры в разных частях духовок получены следующие данные:

Определите, какая духовка прогрета более равномерно.

Решение

Введем данные в первый и третий столбец (второй и четвертый столбцы будем использовать для расчетов).

Определим среднюю температуру в первой духовке:

Одним выражением вычислим сумму квадратов отклонений данных температур от среднего значения, составив выражение Sum(List 1-List 2[1])²:

Определим сначала дисперсию:

а затем среднее квадратичное отклонение:

Для первой духовки получим: σ₁ ≈ 4,5 °C .

Проведем расчет среднего значения температуры и среднего квадратичного отклонения для второй духовки.

Расчет среднего квадратичного отклонения можно выполнить аналогично предыдущему (пошагово), либо (как представлено ниже) составив конечную формулу сразу √ (Sum (List 3-List 4[1])²:15):

Для второй духовки получим: σ₂ ≈ 1,4 °C.

Сделаем выводы: среднее квадратичное отклонение (величина которого показывает степень стабильности процесса) температуры во второй духовке меньше среднего квадратичного отклонения температуры в первой духовке примерно в три раза, значит вторая духовка прогрета более равномерно, чем первая, несмотря на то, что средние температуры в первой и во второй духовке практически совпадают с температурами, обозначенными на терморегуляторе. Это свидетельствует о том, что выпечка из второй духовки будет более равномерно прожарена.

Задание 3. Климат [2]

Континентальный климат отличается от умеренного более резкими изменениями температуры в течение года. В районах с континентальным климатом жаркое лето и очень холодная зима. С помощью среднего квадратичного отклонения различия между двумя видами климата можно выразить количественно.

Сравним для примера изменение температур в течение года в Москве, где климат умеренный, с изменением температур в Хабаровске, где климат континентальный (в таблице приведены средние месячные температуры за 80 лет в Москве и Хабаровске).

Средние месячные температуры, °С.

Решение

Введем данные и вычислим среднее месячное значение температуры для Москвы:

а затем и для Хабаровска:

Определим дисперсию:

Вычислим среднее квадратичное отклонение:

Мы видим, что среднее квадратичное отклонение температур в Москве (9,9 °C) меньше, чем в Хабаровске (15,1 °C). Это свидетельствует о меньшем перепаде температур в течение года, то есть о более мягком климате.